物理学の法則を記述するためには座標系が不可欠であるところ、
物理法則はどんな座標系に対しても不変な数学的形式に書かれるはずというのが相対性原理です（【文献】(1)）。
物理法則が不変となる座標変換は、従来のニュートン力学においてはガリレー変換であるのに対して
特殊相対性理論においてはローレンツ変換となります。
そこで、ローレンツ変換について、ガリレー変換と対比しつつ説明します。
物体の運動について取り扱うニュートン力学の基礎となった相対性原理がガリレー（Galilei）の相対性原理です。
ガリレーの相対性原理では「時間はどの観測系でも共通」であるとされています。
したがって、ガリレーの相対性原理では、座標系K（時間\(t\)と三次元空間座標（\(x,y,z\)））
に対して\(x\)方向に速度\(v\)で運動する座標系K'（時間\(t'\)と三次元空間座標（\(x',y',z'\)））
の２つの座標系における質点（物体）の運動の座標と時間の関係は以下のとおりとなります。
下記関係式による座標変換をガリレー変換といいます。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
t'\\
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
t\\
x-vt\\
y\\
z
\end{pmatrix} \label{2-1}
\end{equation}
ニュートン力学に対して、特殊相対性理論では、「光速度不変の原理」により「光速度はどの観測系でも不変（共通）」であるため、
座標系K（時間\(t\)と三次元空間座標（\(x,y,z\)））に対して\(x\)方向に速度\(v\)で運動する座標系（時間\(t'\)と三次元空間座標（\(x',y',z'\)））
の２つの座標系における質点（物体）の運動の座標と時間の関係は以下のとおりとなります。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
t'\\
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cfrac{t-\cfrac{v\ x}{c\ ^{2}}}{\sqrt{1-β\ ^{2}}\ }\\
\cfrac{-vt+x}{\sqrt{1-β\ ^{2}}}\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
γ\ (t-\cfrac{β\ x}{c})\\
γ\ (-βct+x)\\
y\\
z
\end{pmatrix} \label{2-2}
\end{equation}
\begin{equation}
β = \cfrac{v}{c}\ \ （\ |β|\lt 1\ ） \label{2-3}
\end{equation}
\begin{equation}
γ = \cfrac{1}{\sqrt{1-β^{2}\ }} \label{2-4}
\end{equation}
上記式による座標変換をローレンツ変換といい、
物理法則がローレンツ変換に対して不変であることを特殊相対性原理といいます。
「特殊」と呼ぶのは、座標変換が任意ではなくローレンツ変換という「特殊」な座標変換に限られるからです。
なお、慣性座標系間の正しい座標変換はローレンツ変換であって、
ガリレー変換は物体の速度\(v\)が光速\(c\)に比べて非常に小さい（\(v\ll c\)）特別な場合に成立します
（\eqref{2-2}において、\(\beta \doteqdot 0\ \)とおけば、\eqref{2-2}は\eqref{2-1}に一致します）。
特殊相対性理論では、後記「時空」で説明するように、空間座標（\(x, y, z\)）に時間座標tを加えた４次元座標（\(t, x, y, z\)）
として取り扱われますが、取り扱いの便宜上、時間軸の次元を空間座標に揃えて一般的に時間軸を\(ct\)とします。
時間軸を\(ct\)とした場合には、\eqref{2-2}に代わって次式を使用します。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
ct'\\
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cfrac{ct-βx}{\sqrt{1-β\ ^{2}}\ }\\
\cfrac{-ut+x}{\sqrt{1-β\ ^{2}}}\\
y\\
z\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
γ\ (ct) -γβx\\
-γβ\ (ct) + γx\\
y\\
z
\end{pmatrix} \label{2-5}
\end{equation}
上式は次式のように表すことができます。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
ct'\\
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\ γ\ & -γβ\ & 0\ & 0\ \\
\ -γβ\ & γ\ & 0\ & 0\ \\
\ 0\ \ & 0\ & 1\ & 0\ \\
\ 0\ \ & 0\ & 0\ & 1\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\ ct\ \\
\ x\ \\
\ y\ \\
\ z\
\end{pmatrix} \label{2-6}
\end{equation}
ここで、次式
\begin{equation}
β = \tanh θ \label{2-7}
\end{equation}
で定義したθを用い、さらに \(γβ = β/\sqrt{1-β^{2}}\) （\eqref{2-3}、\eqref{2-4}参照）を考慮すると次式が得られます。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\ ct'\ \\
\ x'\ \\
\ y'\ \\
\ z'\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\ \cosh θ & -\sinh θ & 0 & 0\ \\
-\sinh θ & \ \cosh θ & 0 & 0\ \\
0 & 0 & 1 & 0\ \\
0 & 0 & 0 & 1\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\ ct\ \\
\ x\ \\
\ y\ \\
\ z\
\end{pmatrix} \label{2-8}
\end{equation}
ここで、\(\sinh θ\)、\(\cosh θ\)、\(\tanh θ\)は、下記により定義される双曲線関数です。
\(\sinh θ = \cfrac{e^{θ}-e^{-θ}}{2} \) \(\sinh θ = \cfrac{e^{θ}+e^{-θ}}{2}\) \(\tanh θ = \cfrac{\tanh θ}{\cosh θ}\)
また、双曲線関数は次の関係式が成立します。
\(\cosh^{2} θ - \sinh^{2} θ = 1\)
\( \cfrac{d}{dθ}\sinh θ = \cosh θ \)
\( \cfrac{d}{dθ}\cosh θ = \sinh θ \)
\( \cfrac{d}{dθ}\tanh θ = 1-\tanh^{2} θ= \cfrac{1}{\cosh^{2} θ} \)
\eqref{2-8}より、ローレンツ変換は原点を中心とした座標回転に類似の線形変換であることがわかります。