早わかり一般相対性理論

【コラム１】球面三角形の性質

　球面三角形（A、B、Cを連結する３本の測地線により形成された△ABC）の内角の和が２直角（\(\pi\)ラジアン） より大きいことを下記図を使用して示します。 ラジアンとは、半径１の円の円弧の長さでその円弧に対応する中心角で角度を表示する方法（弧度法）による単位であり、 円周（360°）は \(2\pi\)ラジアンとなります。
　球心Oに対してA、B、Cのそれぞれに対称の位置にある点をA'、B'、C'とします。 なお、以下の検討では、球面上の部分の表面積を鉤括弧「[　]」で表すものとします。 例えば、[△ABC]は、△ABCの表面積を表します。
　△A'B'C'は球心Oに対して△ABCと対称なので、△A'B'C'と△ABCとは合同であるため、 ∠A'=∠A=\(\alpha\)、∠B'=∠B=\(\beta\)、∠C'=∠C=\(\gamma\)、[△A'B'C']=[△ABC]となります。
　測地線BAB'、BCB'は端点B、B'を共通として、直線BB'は球の中心点Oを通るので、 測地線ABA'と測地線ACA'とに囲まれた球面二角形ABA'CA（図a1で赤線表示）の表面積[ABA'CA]は、
\begin{align} \mathrm{[ABA'CA]} &= 球の表面積（4πr^{2}）\x \frac{\alpha}{\ 2\pi\ } \notag \\ &= 2\pi r^{2} \notag \end{align} となる一方、[△ABC]+[△A'BC]であるため（図a1参照）
\[ \mathrm{[△ABC]} + \mathrm{[△A'BC]} = 2\alpha r^{2} \tag{a1} \] となります。

図a1　球面二角形ABA'CAと球面三角形ABC

　同様にして、測地線CBC'とCAC'とに囲まれた球面二角形CBC'AC（図a2で青線表示）の表面積［CBC'AC］、及び測地線BA'B'とBC'B'とに囲まれた球面二角形BA'B'C'B（図a3の黄線表示）の表面積［BA'B'C'C］は、それぞれ、2γr²、2βr²となるため、
\[ \mathrm{[△ABC]} + \mathrm{[△ABC']} = 2\gamma r^{2} \tag{a2} \] \[ \mathrm{[△A'BC']} + \mathrm{[△A'B'C']} = 2\beta r^{2} \tag{a3} \] となります。

　　　図a2　球面二角形CBC'AC

　　　図a3　球面二角形BA'B'C'B

　図a1から大円AC'A'CAより上の半球の表面積Sは、\(4\pi r^{2}/2=2\pi r^{2}\) である一方、図a1〜a3より、 △ABCと△A'B'C'とが合同であること及び(a-1)〜(a-3)を利用すると、Sは以下のとおりとなります。
\begin{align} S &= \ \mathrm{[ABA'CA]} + (\mathrm{[CBC'AC]}-\mathrm{[△ABC]}) + \mathrm{[BA'B'C'B]}\ - \mathrm{[△A'B'C']} \notag \\ &= \ \mathrm{[ABA'CA]} + \mathrm{[CBC'AC]} + \mathrm{[BA'B'C'B]}\ - 2\ \mathrm{[△A'B'C']} \notag \\ &= 2\pi r^{2}\ + 2\beta r^{2}\ + 2\gamma r^{2} - 2 \mathrm{[△ABC]} \notag \end{align} となるため、
\[ 2\pi r^{2} = 2\ (\alpha +\beta + \gamma )r^{2} - 2 \mathrm{[△ABC]} \] となり、これより以下の式が得られます。
\[ (\alpha + \beta + \gamma ) - \pi = \frac{\ \mathrm{[△ABC]}\ }{r^{2}} \tag{a4} \] 又は、 \[ \frac{\ (\alpha + \beta + \gamma ) -\pi }{\mathrm{[△ABC]}} = \frac{1}{\ r\ ^{2}\ } \tag{a5} \] が得られます。なお、これらの式をガウス・ボンネの定理といいます。
　(a4)式の右辺は正となるため、
\[ \alpha + \beta + \gamma \gt \pi \mathrm{（２直角）} \tag{a6} \] となります。これにより、球面三角形ABCの内角の和は２直角より大きくなることが示されました。
　(a6)より、内角の和（α+β+γ）は、球の半径\(r\)が小さくなるほど２直角より大きな値になり、 逆に\(r\)が大きくなると２直角に近づきます（\(r\)が無限大になると平面になるので、内角の和が２直角になります）。

　\(1/r^{2}\)は球面の曲がり度の指標となる曲率\(K\)となります。ただし、球面の半径\(r\)は、３次元世界にいる観察者からは観測可能ですが、 ２次元世界である球面上にいる観察者にとっては、\(r\)を直接観測することができません。
ところが、(a5)の左辺の以下の量は、三角形ABCの各内角\(\alpha、\beta、\gamma\)及び面積[△ABC]を測定することにより、求めることができます。
\[ \frac{\ (\alpha + \beta + \gamma ) - \pi }{\mathrm{[△ABC]}} \] 　したがって、上記の量は球面上の世界における観察者にとっての曲率\(K\)（\(=1/r^{2}\)）として定義することができます。
　なお、球面三角形△ABCの面積[△ABC]は次式で与えられるため、球面上の観測値により算出することができます。
\[ 2 \sin\frac{\mathrm{[△ABC]}}{2}=\frac{\sqrt{\sin s\ \sin(s-a)\ \sin(s-b)\ \sin(s-c)}}{\cos\cfrac{a}{2}\ \cos\cfrac{b}{2}\ \cos\cfrac{c}{2}} \tag{a7} \] ただし、\(2s = a + b + c\)（\(a, b, c\)は△ABCの３辺の長さ）
　(a6)式をカニョールの公式といい、△ABCが小さいときは、次式で表される平面三角形の面積\(S\)の公式（ヘロンの公式）で近似できます。
\[ S = \sqrt{s(s-a\ )(s-b\ )(s-c\ )} \tag{a8} \]

【コラム２】擬球面の性質等

　擬球面の形状は、\(x-z\)軸断面において次式の双曲線の \(z\geqq 0\) の範囲を\(z\)軸周りに360°回転することにより生成される面となります（図６参照）。
\[ z = r\ \bigl (\ log\frac{1+\sqrt{1-X^{2}}}{X}-\sqrt{1-X^{2}}\quad\bigr) \tag{b1} \] ただし、\(X = x/r\)
　したがって、底円（\(z=0\)における円）の半径\(r\)が異なる擬球どうしは相似形となります。 例えば、底円の半径が \(r_{1}\)と\(r_{2}\) である２つの擬球の相似比率は \(r_{1}\)：\(r_{2}\) となります。
　底円の半径\(r\)の擬球面における（測地線で形成された）三角形△ABCについても次式で表現される面積の定理（ガウス・ボンネの定理）が成立します。
\[ π\ - (\alpha + \beta + \gamma ) = \frac{\ \mathrm{[△ABC]}\ }{r^{2}} \tag{b2} \] 又は、 \[ \frac{π\ - \ (\alpha + \beta + \gamma )\ }{\mathrm{[△ABC]}} = \frac{1}{\ r\ ^{2}\ } \tag{b3} \] 　(b2)式右辺が正であるため、(b2)式より、
\[ \alpha + \beta + \gamma \lt \pi \mathrm{（２直角）} \tag{b4} \] となり、擬球面三角形の内角の和は２直角より小さくなります。
　∠Cを直角とする擬球面直角三角形ABC（A、B、Cの対辺をそれぞれ\(a\)、\(b\)、\(c\)）についての三平方の定理は次式で表されます。
\[ \cosh\frac{a}{r}\ \cosh\frac{b}{r} = \cosh\frac{c}{r} \tag{b5} \] ここで、\( \cosh(\ ) \) は、双曲線関数であり、次式で表されます。
\[ \cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \]