前章は一般的なリーマン空間について説明しましたが、
本章では、特に１次元の時間座標\(ct\)と３次元の空間座標\(x,y,z\)からなる４次元時空（ミンコフスキー時空）の計量テンソルの性質について説明します。
等価原理では、重力が存在する空間も局所的には慣性系と等価である必要があるため、
座標変換により局所的にその計量をミンコフスキー時空と同じ計量にできなければなりません。
したがって、\(\bm x\)座標系により計量の定義された４次元時空上の任意の世界点Aにおいて
一般座標変換で\(\bm x'\)座標系に移ることにより計量テンソルを局所的に次式により表されるミンコフスキー時空の
計量テンソル\(\eta_{kl}\)とすることができなければなりません。
\begin{equation}
g_{k'l'}(x'_{A}) = \eta_{kl} \equiv
\begin{pmatrix}
-1\quad 0\quad 0\quad 0 \\
\ 0\quad\ 1\quad 0\quad 0 \\
\ 0\quad\ 0\quad 1\quad 0 \\
\ 0\quad\ 0\quad 0\quad 1
\end{pmatrix} \label{b2-23}
\end{equation}
第８章「8.2 座標変換」の(15)より次式が成り立ちます。
\begin{equation}
g_{k'l'}(x') = g_{ij}(x)\dd{x^{i}}{x^{k'}}\dd{x^{j}}{x^{l'}} \label{b2-24}
\end{equation}
上式の行列式をとると
\begin{equation}
|g_{k'l'}(x'_{A})| = |g_{ij}(x)|\Biggl|\dd{x^{i}}{x^{k'}}\Biggr| \cdot \Biggl|\dd{x^{j}}{x^{l'}}\Biggr| \label{b2-25}
\end{equation}
となり、これより次式が得られます。
\begin{equation}
-1 = g(x)\Biggl|\dd{(x)}{(x')}\Biggr|^{2} \label{b2-26}
\end{equation}
ここで、\(g(x)\)は計量テンソル\(g_{ij}(x)\)の行列式、
\(\Bigl|\cfrac{\partial (x)}{\partial (x')}\Bigr|\)は座標変換式の関数行列式です。
上式より次式が得られます。
\begin{equation}
g(x) = \cfrac{-1}{\Biggl|\cfrac{\partial (x)}{\partial (x')}\Biggr|^{2}} \lt 0 \label{b2-27}
\end{equation}
上式より、４次元時空を表す計量テンソル\(g_{ij}\)の行列式\(g(x)\)（以下、「\(g(x)\)」を単に「\(g\)」と表記することとします）は常に負となります。
計量テンソルは２階共変テンソルであるため、反変テンソル\(g^{ij}\)を次式で定義します。
\begin{equation}
g^{ik}g_{kj} \equiv {\delta^{i}}_{j} \label{b2-28}
\end{equation}
ここで、\({\delta^{i}}_{j}\)は次式で定義されるクロネッカーのデルタです。
\begin{equation}
{\delta^{i}}_{j} \equiv
\begin{pmatrix}
1\quad 0\quad 0\quad 0 \\
0\quad 1\quad 0\quad 0 \\
0\quad 0\quad 1\quad 0 \\
0\quad 0\quad 0\quad 1
\end{pmatrix} \label{b2-29}
\end{equation}
したがって、反変テンソル\(g^{ij}\)は共変計量テンソル\(g_{ij}\)の逆行列となります。
共変計量テンソル\(g_{ij}\)や反変計量テンソル\(g^{ij}\)を用いることにより、反変ベクトルからそれに対応する共変ベクトルを、
またそれと逆に共変ベクトルからその反変ベクトルを作成することができます。
\begin{align}
&A_{i} \equiv g_{ij}A^{j} \label{b2-30} \\
&B^{k} \equiv g^{ki}B_{i} \label{b2-31}
\end{align}
これは、必要に応じて適宜、上付き添字と下付き添字の変更ができるので、数式の展開上便利です。
したがって、次式のように、上記の変換の繰り返しにより、元のベクトルに帰ることもできます。
\begin{align}
&A_{k} = g_{ki}A^{i} = g_{ki}g^{ij}A_{j} = {\delta^{j}}_{k}A^{j} = A_{k} \label{b2-32} \\
&B^{k} = g^{ki}B_{i} = g^{ki}g_{ij}B^{j} = {\delta^{k}}_{j}B^{j} = B^{k} \label{b2-33}
\end{align}
計量テンソルの微分に関する公式には次のようなものがあります。
\begin{align}
&g_{ij} \dd{g^{ij}}{x^{k}} = - g^{ij} \dd{g_{ij}}{x^{k}} \label{b2-34} \\
&\dd{g^{ij}}{x^{k}} = - g^{il} g^{jm} \dd{g_{lm}}{x^{k}} \label{b2-35} \\
&\dd{g(x)}{x^{i}} = g(x) g^{jm} \dd{g_{jm}}{x^{i}} \label{b2-36}
\end{align}
上式の証明は以下のとおりです。
【\eqref{b2-34}の証明】
計量テンソルは対称（\( g_{ij}=g_{ji} \)）であるため、
\begin{equation}
g^{ij}g_{ij} = g^{ij}g_{ji} = {\delta^{i}}_{i} \label{b2-37}
\end{equation}
を\( x^{k} \)で偏微分すると
\begin{equation}
g_{ij} \dd{g^{ij}}{x^{k}} + g^{ij} \dd{g_{ik}}{x^{k}} = 0 \label{b2-38}
\end{equation}
となります。したがって、\eqref{b2-38}より
\begin{equation}
g_{ij} \dd{g^{ij}}{x^{k}} = - g^{ij} \dd{g_{ik}}{x^{k}} \label{b2-39}
\end{equation}
が得られます。
【\eqref{b2-35}の証明】
\begin{equation}
( g^{ij} + \dd{g^{ij}}{x^{k}} )( g_{jl} + \dd{g_{jl}}{x^{k}} ) = {\delta^{i}}_{l} \label{b2-40}
\end{equation}
から、２次の項を無視すると
\begin{equation}
g_{jl} \dd{g^{ij}}{x^{k}} + g^{ij} \dd{g_{jl}}{x^{k}} = 0 \label{b2-41}
\end{equation}
が得られます。\eqref{b2-41}の両辺に\( g^{rl} \)を乗じると、その左辺は
\begin{align}
(左辺) &= g^{rl} g_{lj} \dd{g^{ij}}{x^{k}} + g^{rl} g^{ij} \dd{g_{jl}}{x^{k}} \notag \\
&= {\delta^{r}}_{j} \dd{g^{ij}}{x^{k}} + g^{rl} g^{ij} \dd{g_{jl}}{x^{k}} \notag \\
&= \dd{g^{ir}}{x^{k}} + g^{rl} g^{ij} \dd{g_{jl}}{x^{k}}
\label{b2-42}
\end{align}
となります。\eqref{b2-42}を\eqref{b2-41}に代入すると
\begin{equation}
\dd{g^{ir}}{x^{k}} = - g^{rl} g^{ij} \dd{g_{jl}}{x^{k}} \label{b2-43}
\end{equation}
が得られます。上式で、\( r \)と\( j \)との置き換えをすると
\begin{equation}
\dd{g^{ij}}{x^{k}} = - g^{jl} g^{ir} \dd{g_{rl}}{x^{k}} \label{b2-44}
\end{equation}
が得られます。ここで、さらに、上式右辺において、\( r \to l \)、\( l \to m \)の置き換えをすると
\begin{equation}
(右辺) = - g^{jm} g^{il} \dd{g_{lm}}{x^{k}} = - g^{il} g^{jm} \dd{g_{lm}}{x^{k}} \label{b2-45}
\end{equation}
と変形できるため、\eqref{b2-44}より次式が得られます。
\begin{equation}
\dd{g^{ij}}{x^{k}} = - g^{il} g^{jm} \dd{g_{lm}}{x^{k}} \label{b2-46}
\end{equation}
【\eqref{b2-36}の証明】
\begin{equation}
\delta g = | g_{ij} + \delta g_{ij} | - | g_{ij} | \label{b2-51}
\end{equation}
と定義すると、行列式の展開公式より
\begin{equation}
\delta g = \tilde{g}^{ij} \delta g_{ij} \label{b2-52}
\end{equation}
が得られます。ここで、\( \tilde{g}^{ij} \)は計量スカラー（行列）\( g^{ij} \)の余因子行列です。
\( g^{ji}g_{ij} = {\delta^{j}}_{j} \)より、\( g^{ji} \)は\( g_{ij} \)の逆行列です。
一方、\( g_{ij} \)の逆行列を余因子行列で表わせば、
\begin{align}
g_{ij} = (g^{ji})^{-1} &= \cfrac{1}{ |g^{ji}| } \tilde{g}^{ji} \notag \\
&= \cfrac{1}{ g } \tilde{g}_{ij}
\label{b2-53}
\end{align}
とななるため、次式が得られます。
\begin{equation}
\tilde{g}^{ij} = g {g}^{ij} \label{b2-54}
\end{equation}
\eqref{b2-54}を\eqref{b2-52}に代入して、\( \delta \)を\( \dd{}{x^{x}} \)に置き換えれば次式が得られます。
\begin{equation}
\dd{g}{x^{k}} = g {g}^{ij} \dd{g_{ij}}{x^{k}} \label{b2-55}
\end{equation}