早わかり特殊相対性理論

Ⅸ　物理法則の共変形式

　慣性座標系Kから別の慣性座標系K’に座標変換するとき、 その座標変換に対して物理法則が不変であることが自明な数学的形式を「共変形式」と呼びます。
　以下、代表的な物理法則についてローレンツ変換に対する共変形式を紹介します。

１．数学的準備

(1)座標表示

　４次元ミンコフスキー時空の点（世界点）の座標として、\(t,x,y,z\)の代わりに、 \(x^{i} = (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}) = (ct,x,y,z)\) と表わすこととします。 座標の成分の\(i\)は0,1,2,3の値を取る添字であり、通常の記法と異なり、特に断らない限り各成分の右上の肩に書くものとします。
　なお、ギリシャ小文字\(i, j, k, l\)等を添字等として使用する場合は、その添字等は0,1,2,3で変化し、 例えば\(i\)に特定の値を入れたときは座標の特定の成分を表すものとします（例えば、\(x^{3}=z\)）。

　一方、デカルト座標のような３次元空間の点の座標の場合は、添字等としてラテン小文字（\(α,β,γ,μ,ν,σ\)等）を使用して \(x^{μ} = (x^{1},x^{2},x^{3}) = (x, y, z)\) と表示します。したがって、ラテン小文字を添字等として使用する場合は、そのラテン小文字の取る値は1,2,3で変化します。

(2)座標変換とテンソル

①テンソルの定義及び表記方法
　相対性理論を理解、解析する上で「テンソル」は非常に重要なものとなります。そこで、先ずテンソルについて説明します。
　「テンソル」とは、ベクトルを別のベクトルに変換する線形作用素をいいます。 ４次元ベクトル\(\bm p\)（\(p^{0},\ p^{1},\ p^{2},\ p^{3}\)）、 ４次元ベクトル\(\bm q\)（\(q_{0},\ q_{1},\ q_{2},\ q_{3}\)）、 テンソル\(T\)として、ベクトル\(\bm p\)をベクトル\(\bm q\)への変換を行列形式で表すと次式となります。 \begin{equation} \begin{pmatrix} \ q_{0}\ \\ \ q_{1}\ \\ \ q_{2}\ \\ \ q_{3}\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03}\\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13}\\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23}\\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ p^{0}\ \\ \ p^{1}\ \\ \ p^{2}\ \\ \ p^{3}\ \end{pmatrix} \label{5-1} \end{equation} 　上式のような行列形式で表記するのは煩わしいので、次式のように表記することとします。 \begin{equation} q^{i} = \sum_{j=0}^{3}{T^{i}}_{j}\ p^{j}\qquad (i=0,1,2,3) \label{5-2} \end{equation} 　さらに、上式の和記号\(\sum\)を省略して次式のように簡略して表記することとします（この省略を「アインシュタインの省略」と呼びます）。 \begin{equation} q^{i} = {T^{i}}_{j}\ x^{j} \label{5-3} \end{equation}

②ローレンツ変換のテンソル表記
　ミンコフスキー時空の座標\(x^{i} = (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}) = (ct,x,y,z)\)においてローレンツ変換はⅥ章「２ ローレンツ変換」 の(6)よりテンソルとなるので、ローレンツ変換をテンソル形式で表せば次式となります。 \begin{equation} \bm x' = \bm L \bm x \label{5-4} \end{equation} 　ここで、\(\bm L\)は次式で表されるローレンツ変換行列です。 \begin{equation} \bm L = \begin{pmatrix} \ {L^{0}}_{0}\ & {L^{0}}_{1}\ & {L^{0}}_{2}\ & {L^{0}}_{3}\ \\ \ {L^{1}}_{0}\ & {L^{1}}_{1}\ & {L^{1}}_{2}\ & {L^{1}}_{3}\ \\ \ {L^{2}}_{0}\ & {L^{2}}_{1}\ & {L^{2}}_{2}\ & {L^{2}}_{3}\ \\ \ {L^{3}}_{0}\ & {L^{3}}_{1}\ & {L^{3}}_{2}\ & {L^{3}}_{3}\ \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} \ γ\ & -γβ\ & 0\ & 0\ \\ \ -γβ\ & γ\ & 0\ & 0\ \\ \ 0\ \ & 0\ & 1\ & 0\ \\ \ 0\ \ & 0\ & 0\ & 1\ \end{pmatrix} \label{5-5} \end{equation} \begin{equation} β = \cfrac{v}{c}\ \ （\ |β|\lt 1\ ） \label{5-6} \end{equation} \begin{equation} γ = \cfrac{1}{\sqrt{1-β^{2}\ }} \label{5-7} \end{equation} 　アインシュタインの省略を使用すれば、\eqref{5-5}は次式のように表記されます。 \begin{equation} x'^{i} = {L^{i}}_{j}\ x^{j} \label{5-8} \end{equation}

(3)スカラー

　ローレンツ変換\eqref{5-8}は１次変換であり、次式で表すことができます。 \begin{equation} x'^{i} = \dd{x'^{i}}{x^{j}}x^{j} \label{5-9} \end{equation} したがって、\({L^{i}}_{j}\)は次式で表すことができます。 \begin{equation} {L^{i}}_{j} = \dd{x'^{i}}{x^{j}} \label{5-10} \end{equation} 　\(x\)座標系の点\(x\)で定義された物理量\(\phi(x)\)がローレンツ変換により\(x'\)系に移ったとき、 \(x'\)系での物理量\(\phi'(x')\)の値が元のx系での物理量\(\phi(x)\)に等しい場合、 この物理量を「スカラー」といいます。 \begin{equation} \phi'(x') = \phi(x) \label{5-11} \end{equation} 　ミンコフスキー時空における世界間隔\(ds\)の２乗\(ds^{2}\)（「Ⅶ ミンコフスキー時空」の (2)式） \begin{equation} ds^{2} = η_{ij}x^{i}x^{j} \label{5-12} \end{equation} \begin{equation} η_{ij} = \begin{pmatrix} -1\ & 0\ & 0\ & 0 \\ 0\ & 1\ & 0\ & 0 \\ 0\ & 0\ & 1\ & 0 \\ 0\ & 0\ & 0\ & 1 \end{pmatrix} \label{5-13} \end{equation} がスカラーであることを以下に説明します。 なお、\(η_{ij}\)を「ミンコフスキー時空の計量テンソル」といいます。
　\(ds'^{2}\)は、\eqref{5-10}を考慮すると、 \begin{align} ds'^{2} &= η_{ij}x'^{i}x'^{j} = η_{ij}({L^{i}}_{j}x^{j})({L^{j}}_{i}x^{i}) = η_{ij}(\dd{x'^{i}}{x^{j}}x^{j})(\dd{x'^{j}}{x^{i}}x^{i}) \\ \notag &= η_{ij}x^{j}x^{i} \\ \notag &= ds^{2} \label{5-14} \end{align} となり、\(ds^{2}\)はローレンツ変換に対して値が変化しないため、スカラーとなります。
　したがって、ミンコフスキー時空の世界間隔\(ds\)はローレンツ変換により不変となります。
　また、世界間隔から定義される固有時間 \begin{equation} dτ = \cfrac{\ 1\ }{c}\sqrt{-ds^{2}} \label{5-15} \end{equation} もスカラーであるため、（運動する）質点に固定された座標系における時計の時間である固有時間τはローレンツ変換により不変となります。

(4)反変ベクトル

①基底ベクトルの座標変換の公式
　点Pにおける\(\bm x\)座標系の綺麗ベクトルを \(\bm e_{0}=(1,0,0,0), \bm e_{1}=(0,1,0,0), \bm e_{2}=(0,0,1,0), \bm e_{3}=(0,0,0,1)\) として、\(\bm x'\)座標系への座標変換を考えます。
　基底ベクトルの定義より一方の基底ベクトルは他方の基底ベクトルの線形結合で表わすことができるため、 任意の\(d\bm x\)について全微分の公式より \begin{equation} d\bm x = dx^{i}\bm e_{i} = \Bigl(\dd{x^{i}}{x'^{j}}dx'^{j}\Bigr)\bm e_{i} = dx'^{j}\Bigl(\dd{x^{i}}{x'^{j}}\bm e_{i}\Bigr) \label{5-16-1} \end{equation} が得られます。ここで、 \begin{equation} d\bm x = dx'^{j}\bm e_{j} \label{5-16-2} \end{equation} であるから、上２式から得られた \begin{equation} dx'^{j}\bm e'_{j} = dx'^{j}\Bigl(\dd{x^{i}}{x'^{j}}\bm e_{i}\Bigr) \label{5-16-3} \end{equation} を変形して \begin{equation} dx'^{j}\Bigl(\dd{x^{i}}{x'^{j}}\bm e_{i} - \bm e'_{j}\Bigr) = \bm 0 \label{5-16-4} \end{equation} が成立します。
　ここで、\(d\bm x\)は任意であるため、\(dx'^{j}\)も任意となるところ、 \(dx'^{j}\)のみではなくそれ以外の\(dx'^{j}\)がすべて０となります。
　したがって、上式において\(\bm x'\)座標系における\(i=j\)以外の成分はすべて０となるので、 \begin{equation} \dd{x^{i}}{x'^{i}}\bm e_{i} - \bm e'_{i} = \bm 0 \label{5-16-5} \end{equation} が成立します。
すなわち、 \begin{equation} \bm e'_{i} = \dd{x^{i}}{x'^{i}}\bm e_{i} \label{5-16-6} \end{equation} が得られます。この式を「基底の変換公式」といいます。

②反変ベクトル
　点Pの座標が基底ベクトル\(e_{i}(x)\)により \(U^{i}e_{i}(x)\) で表されるベクトル\(U^{i}\)について、基底ベクトルを\(e'_{j}(x')\)に変更したときの\(U^{i}\)の変換公式を求めます。
　基底の変換公式\eqref{5-16-6}を用いると 　基底ベクトル\(e_{x}\)により \begin{equation} U^{i} = U^{i}e_{i}(x) = U^{i}\Bigl( \dd{x^{i}}{x'^{j}}e'_{j} \Bigr)A^{i}e'_{i} \label{5-16-12} \end{equation} が得られます。ここで、 \begin{equation} U^{i} = U'^{i}e'_{i}(x) \label{5-16-13} \end{equation} であるから、上記２式から \begin{equation} U'^{i} = \dd{x'^{i}}{x^{j}}U^{j} \label{5-16-14} \end{equation} が得られます。この式は、基底の変換公式\eqref{5-16-6}と係数の分母と分子が反対の逆行列による”反対の変換”であるので、 \(U^{i}\)を「反変ベクトル」といいます。
　なお、反変ベクトルであることを示すためにそのベクトルの右肩に添字を書くこととしています。 \begin{equation} U'^{i}(x') = \dd{x'^{i}}{x^{j}}U^{j}(x) \label{5-16-15} \end{equation} 　したがって、\eqref{5-10}より、\(\cfrac{\partial x'^{i}}{\partial x^{j}} = {L^{i}}_{j}\)であるため、 ローレンツ変換によって変換されるベクトルは反変ベクトルとなります。

(5)共変ベクトル

　\(x\)座標系において４成分を持つベクトル\(V_{i}(x)=(V_{0}(x),V_{1}(x),V_{2}(x),V_{3}(x))\)を \(x'\)系へ座標変換するときに、 ローレンツ変換行列\({L^{i}}_{j}\)の逆行列\({(L^{-1})^{i}}_{j}\)を使用して次式により変換される場合に、 このベクトルは、係数が基底の変換公式\eqref{5-16-6}と”同じ変換”となるので、 「反変ベクトル」と呼ぶこととしたものです。 なお、”共変ベクトル”であることを示すためにそのベクトルの右下に添字を書くこととしています。 \begin{equation} V'_{j}(x') = {(L^{-1})^{i}}_{j}\ V_{i}(x) \label{5-17} \end{equation} ここで、 \begin{equation} {(L^{-1})^{i}}_{j} = \dd{x^{i}}{x'^{j}} \label{5-18} \end{equation} \begin{equation} \bm L^{-1} = \begin{pmatrix} \ {(L^{-1})^{0}}_{0}\ & {(L^{-1})^{0}}_{1}\ & {(L^{-1})^{0}}_{2}\ & {(L^{-1})^{0}}_{3}\ \\ \ {(L^{-1})^{1}}_{0}\ & {(L^{-1})^{1}}_{1}\ & {(L^{-1})^{1}}_{2}\ & {(L^{-1})^{1}}_{3}\ \\ \ {(L^{-1})^{2}}_{0}\ & {(L^{-1})^{2}}_{1}\ & {(L^{-1})^{2}}_{2}\ & {(L^{-1})^{2}}_{3}\ \\ \ {(L^{-1})^{3}}_{0}\ & {(L^{-1})^{3}}_{1}\ & {(L^{-1})^{3}}_{2}\ & {(L^{-1})^{3}}_{3}\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ γ\ & γβ\ & 0\ & 0\ \\ \ γβ\ & γ\ & 0\ & 0\ \\ \ 0\ \ & 0\ & 1\ & 0\ \\ \ 0\ \ & 0\ & 0\ & 1\ \end{pmatrix} \label{5-19} \end{equation} 　\(\bm L^{-1}\)はローレンツ変換行列\(\bm L\)の逆行列であるため、ローレンツ変換を表す\eqref{5-5}、\eqref{5-6}の成分中の速度\(v\)を\(-v\)に置換し、その結果、 逆行列の成分\({(L^{-1})^{i}}_{j}\)はローレンツ変換行列の定義式である\eqref{5-5}の成分\({L^{i}}_{j}\)中の\(β\)を\(-β\)に置換したものとなります。

(6)反変テンソル、共変テンソル、混合テンソル

①反変テンソル

　２つの反変ベクトル\(A^{i}(x)\)、\(B^{j}(x)\)の成分の積\(A^{i}B^{j}\)がその\(i,j\)成分となっているテンソル\(T^{ij}(x)\)を２階のテンソルといいます。 \begin{equation} T^{ij}(x) = A^{i}(x)\cdot B^{j}(x) = \begin{pmatrix} A^{0}B^{0} & A^{0}B^{1} & A^{0}B^{2} & A^{0}B^{3} \\ A^{1}B^{0} & A^{1}B^{1} & A^{1}B^{2} & A^{1}B^{3} \\ A^{2}B^{0} & A^{2}B^{1} & A^{2}B^{2} & A^{2}B^{3} \\ A^{3}B^{0} & A^{3}B^{1} & A^{3}B^{2} & A^{3}B^{3} \\ \end{pmatrix} \label{5-20-1} \end{equation} 上式により表されるテンソル\(T^{ij}(x)\)は、座標変換により次式のように変換することができるため、 ２階の反変テンソルと呼ばれます。 \begin{equation} T'^{ij}(x') = \dd{x'^{i}}{x^{k}}\dd{x'^{j}}{x^{l}}T^{kl}(x) = {L^{i}}_{k}{L^{j}}_{l}T^{kl}(x) \label{5-20-2} \end{equation}

②共変テンソル

　２階の反変テンソルと同様に、２つの共変ベクトル\(A_{i}(x)\)、\(B_{j}(x)\)の成分の積\(A_{i}B_{j}\)がその成分\(i,j\)成分となっている２階のテンソル \begin{equation} T_{ij}(x) = A_{i}(x)\cdot B_{j}(x) \label{5-20-3} \end{equation} は、座標変換により次式のように変換することができるため、２階の共変テンソルと呼ばれます。 \begin{equation} T'_{ij}(x') = \dd{x^{k}}{x'^{i}}\dd{x^{l}}{x'^{j}}T_{kl}(x) = {(L^{-1})^{k}}_{i}{(L^{-1})^{l}}_{j}T_{kl}(x) \label{5-20-4} \end{equation}

③混合テンソル

　上記と同様に、１つの共変ベクトル\(A^{i}(x)\)と１つの共変ベクトル\(B_{j}(x)\)の成分の積がその成分\(i,j\)成分となっている次式により表される２階のテンソル \begin{equation} T^{i}_{j}(x) = A^{i}(x)\cdot B_{j}(x) \label{5-20-5} \end{equation} は、座標変換により次式のように変換することができるため、２階の混合テンソルと呼ばれます。 \begin{equation} {T'^{i}}_{j}(x') = \dd{x'^{i}}{x^{k}}\dd{x^{l}}{x'^{j}}{T^{k}}_{l}(x) = {L^{i}}_{k}{(L^{-1})^{l}}_{j}{T^{k}}_{l}(x) \label{5-20-6} \end{equation}

(7)テンソル演算

①縮約

　高階の混合テンソル、例えば\(A^{ijkl}B_{jklm}\)（\(i,j,k,l,m = 0,1,2,3\)）の上下の重複した添字\(j,k,l\)についての和を取り 低い階数のテンソルを作ることを「縮約」といいます。 　例えば、\(A^{ijkl}B_{jklm}\)を縮約すると、次のようになります。 \begin{equation} A^{ijkl}B_{klmn} \equiv \sum_{j=0}^{3} \sum_{k=0}^{3} \sum_{l=0}^{3} A^{ijkl}B_{jklm} = A^{i}B_{m} \label{5-20-7} \end{equation}

②スカラー積

　反変ベクトル\(A^{i}\)と共変ベクトル\(B_{i}\)より次式により定義されるスカラー量\(C(x)\)を「スカラー積」といいます。 \begin{equation} C(x) \equiv A^{i}(x)B_{i}(x) \label{5-20-8} \end{equation}

③ベクトル長さ

　次式により表される\((A)^{2}\)を「ベクトル長さ」といいます。 \begin{equation} (A)^{2} \equiv A^{i}A_{i} = \eta_{ij} A^{i}A^{j} = \eta^{ij} A_{i}A_{j} \label{5-20-9} \end{equation}

２．電磁場方程式

　４つの電磁場方程式（Ⅴ章「３．電磁波の方程式」ページの(3)〜(6)からテンソル式を作成してみます。
　先ず、４つの電磁場方程式うち、(4)と(5)からテンソル式を作成してみます。 (4)より次式が得られます。 \begin{equation} 0 - c\partial_{1}B_{x} - c\partial_{2}B_{y} - c\partial_{3}B_{z} = 0 \label{5-21} \end{equation} 同様に、(5)より次式が得られます。 \begin{equation} \begin{matrix} c\partial_{0}B_{x} + 0 + \partial_{2}E_{z} - \partial_{3}E_{y} = 0 \\ c\partial_{0}B_{y} - \partial_{1}E_{z} + 0 - \partial_{3}E_{x} = 0 \\ c\partial_{0}B_{z} + \partial_{1}E_{y} - \partial_{2}E_{x} + 0 = 0 \end{matrix} \label{5-22} \end{equation} ここで、\(\partial_{i}\)は偏微分\(\partial/\partial{x^{i}}\)を表わす記号 （\(\partial_{i}=\partial / \partial x^{i}\)）（\(i=0,1,2,3\)）です。 　電磁場のテンソル\(f_{ij}\)を \begin{equation} f_{ij} = \begin{pmatrix} 0\ & -\cfrac{1}{c}E_{x}\ & -\cfrac{1}{c}E_{y}\ & -\cfrac{1}{c}E_{z} \\ \cfrac{1}{c}E_{x}\ & 0\ & B_{z}\ & -B_{y} \\ \cfrac{1}{c}E_{y}\ & -B_{z}\ & 0\ & B_{x} \\ \cfrac{1}{c}E_{z}\ & B_{y}\ & -B_{x}\ & 0 \end{pmatrix} \label{5-23} \end{equation} と定義すると、\eqref{5-21}から次式が得られます。 \begin{equation} \partial_{1}f_{32} + \partial_{2}f_{13} + \partial_{3}f_{21} = 0 \label{5-24} \end{equation} 同様に、\eqref{5-22}から次式が得られます。 \begin{equation} \begin{matrix} \partial_{0}f_{23} + \partial_{2}f_{30} + \partial_{3}f_{02} = 0 \\ \partial_{0}f_{31} + \partial_{1}f_{03} + \partial_{3}f_{10} = 0 \\ \partial_{0}f_{12} + \partial_{1}f_{20} + \partial_{2}f_{01} = 0 \end{matrix} \label{5-25} \end{equation} \eqref{5-24}、\eqref{5-25}を簡単なテンソル式としてまとめると次式が得られます。 \begin{equation} \partial_{i}f_{jk} + \partial_{j}f_{ki} + \partial_{k}f_{ij} = 0\quad (i,j,k=0,1,2,3) \label{5-26} \end{equation} ここで、\(i,j,k\)はそれぞれ４つの数の組み合わせであるため、\(4\times 3\times 2=24\)個の式となるが、 多くは恒等式や独立でない式であるため、独立式は(4)、(5)に対応する\eqref{5-24}、\eqref{5-25}の４つです。
　次に、４つの電磁場方程式の残りの２つの(3)および(6)からテンソル式を作成してみます。 (3)から次式が得られます。 \begin{equation} 0 + c\partial_{1}D_{x} + c\partial_{2}D_{y} + c\partial_{3}D_{z} = cρ \label{5-27} \end{equation} 同様に、(6)より次式が得られます。 \begin{equation} \begin{matrix} -c\partial_{0}D_{x} + 0 + \partial_{2}H_{z} - \partial_{3}H_{y} = j_{x} \\ -c\partial_{0}D_{y} - \partial_{1}H_{z} + 0 - \partial_{3}H_{x} = j_{y} \\ -c\partial_{0}D_{z} + \partial_{1}H_{y} - \partial_{2}H_{x} + 0 = j_{z} \end{matrix} \label{5-28} \end{equation} ここで、電荷密度ρ、電流密度ベクトル\((j_{x},j_{y},j_{z})^{T}\)から、４元電流密度\(\bm j^{i}\)を次式のように定義します。 \begin{equation} \bm j^{i} = (cρ,j_{x},j_{y},j_{z})^T \label{5-29} \end{equation} 電磁場のテンソル\(f_{ij}\)を反変テンソルとして表現した次式 \begin{equation} f^{ik} = η^{ij}η^{kl}f_{jl} = \begin{pmatrix} 0\ & \cfrac{1}{c}E_{x}\ & \cfrac{1}{c}E_{y}\ & \cfrac{1}{c}E_{z} \\ -\cfrac{1}{c}E_{x}\ & 0\ & B_{z}\ & -B_{y} \\ -\cfrac{1}{c}E_{y}\ & -B_{z}\ & 0\ & B_{x} \\ -\cfrac{1}{c}E_{z}\ & B_{y}\ & -B_{x}\ & 0 \end{pmatrix} \label{5-30} \end{equation} およびⅤ章「３．電磁波の方程式」ページの(1)（\(\bm D=ε_{0}\bm E\)）、(2)（\(c^{2}=1/ε_{0}μ_{0}\)）を使用して \eqref{5-27}乃至\eqref{5-29}をまとめると次式が得られます。 \begin{equation} \dd{f^{ik}}{x^{k}} = μ_{0}\bm j^{i} \label{5-31} \end{equation} 　\eqref{5-26}は３階のテンソル方程式、\eqref{5-31}はベクトル方程式であるため、 ローレンツ変換により他の座標系に変換されてもその座標系でも方程式の形は同一となります

３．質点の運動方程式

　質点の質量を\(m\)、座標を\(\bm{x} = x^{i} (x^{0},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{3}) = (ct,\ x,\ y,\ z)\)として次式で表されるニュートンの運動方程式 \begin{equation} m\cfrac{d^{2}\bm{x}}{dt^{2}} = \bm{f} \label{5-32} \end{equation} は、時間\(t\)を変数としており、座標変換により観測者（座標系）が異なると観測者により時間\(t\)が異なることとなります。
　しかし、１項「(3)スカラー」に前記したように、質点に固定した座標系における時計による固有時間\(τ\)は ローレンツ変換に対して不変となります。
　そこで、固有時間\(τ\)を使用して共有形式の運動方程式を導入してみます。

(1)４元速度

　運動する質点の４元速度を次式で定義します。 \begin{equation} u^{i} \equiv \frac{dx^{i}(τ)}{dτ} \label{5-33} \end{equation} 　\(dx^{i}\)は反変ベクトル、\(dτ\)がスカラーであるため、 \(u^{i}\)は通常の速度\(\cfrac{dx}{dt}\)に対応しており、反変ベクトルとして次式が得られます。 \begin{equation} u'^{i} = \frac{dx'^{i}}{dτ'} = \cfrac{{L^{i}}_{j}\ x^{j}(τ)}{dτ} = {L^{i}}_{j}\cfrac{dx^{j}(τ)}{dτ} = {L^{i}}_{j}\ u^{j} \label{5-34} \end{equation} ここで、固有時間τと座標時間\(t\)との関係は次式のように表されます。 \begin{equation} dτ = \sqrt{1-\cfrac{1}{c^{2}}\biggl(\cfrac{dx(t)}{dt}\biggr)^{2}}\ dt = \sqrt{1-β^{2}}\ dt = \cfrac{\ 1\ }{γ}dt \label{5-35} \end{equation} 　したがって、\(u^{i}\)の成分は次式により表されます。 \begin{align} u^{i} &= \cfrac{dx^{i}(τ)}{dτ} = γ\cfrac{dx^{i}(τ)}{dt} \notag \\ &= γ\biggl(\cfrac{d(ct)}{dt},\ \cfrac{dx^{1}(t)}{dt},\ \cfrac{dx^{2}(t)}{dt},\ \cfrac{dx^{3}(t)}{dt}\biggr) \notag \\ &= γ\biggl(c,\ \cfrac{dx^{1}(t)}{dt},\ \cfrac{dx^{2}(t)}{dt},\ \cfrac{dx^{3}(t)}{dt}\biggr) \label{5-36} \end{align} \eqref{5-36}より、質点の速度\(\cfrac{dx^{i}}{dt}\ (i=1,2,3)\)が \(c\) に比べて非常に小さいとき（\(|β|\ll c,\ γ\simeq 1\)）、 \(u^{i}\)の空間成分\(\ γ\cfrac{dx^{i}}{dt}\ \)は非相対論としての速度となります。
　４元速度の２乗\(u^{i}u_{i}\)は、\eqref{5-12}を利用すると \begin{equation} u^{i}u_{i} = η_{ij}u^{i}u^{j} = η_{ij}\cfrac{dx^{i}}{dτ}\cfrac{dx^{j}}{dτ} = \biggl(\cfrac{ds}{dτ}\biggr)^{2} = -c^{2} \label{5-37} \end{equation} であり、常に一定（\(-c^{2}\)）となります。 ４元速度\(u^{i}\)は４成分から成りますが、上式により、独立な成分は３成分のみとなります。

(2)４元運動量とエネルギー

　４元運動量を \begin{equation} p^{i} = mu^{i} \label{5-38} \end{equation} と定義すると、４元運動量の２乗は \begin{equation} p^{i}p_{i} = m_{0}^{2}u^{i}u_{i} = -m_{0}^{2}c^{2} \label{5-39} \end{equation} となり、常に一定となります。 このため、４元運動量も４成分からなりますが、独立成分は３成分のみとなります。
ここで、エネルギー\(E\)を \begin{equation} E = cp^{0} \label{5-40} \end{equation} と定義すれば、\(E\)は次式であることが導けます。 \begin{equation} E = m_{0}c^{2}\cfrac{1}{\sqrt{1-β^{2}}} \label{5-41} \end{equation} この式により、速度が\(0\)（\(β=0\)）でも質量は\(m_{0}c^{2}\)のエネルギー\(E\)を持っています。 これを静止質量エネルギーといいます。

(3)運動方程式の共変形式

① 外力が作用しない自由粒子の運動

　ニュートンの運動方程式（\(\cfrac{dp}{dt}=f=0\)）において、時間\(t\)を固有時間τ、運動量を４元運動量に置き換えると次式が得られます。 \begin{equation} \cfrac{dp^{i}}{dτ} = 0 \label{5-42} \end{equation} 上式は、\(p^{i}\)が反変ベクトル、τがスカラーであるため、共変となります。 上式を積分して得られる\(p^{i}=一定\)、の式の空間成分（\(μ=1,2,3\)）は \begin{equation} p^{μ} = \cfrac{m_{0}}{\sqrt{1-β^{2}}}v^{μ} = \mathrm{（一定）} \label{5-43} \end{equation} であり、運動量保存の式となります。 上式は、非相対論的極限（\(|β|\simeq 0\)）では、ニュートン力学の運動量保存式（\(mv^{μ}=一定\)）に一致します。
また、\eqref{5-40}より \begin{equation} cp^{0} = E = \mathrm{（一定）}\label{5-44} \end{equation} はエネルギー保存式を表しています。 非相対論的極限（\(|β|\simeq 0\)）では、ニュートン力学のエネルギー保存式（\(\cfrac{\ 1\ }{2}mv^{2}=一定\)）に一致します。

② 外力が作用する粒子の運動

　外力が４元ベクトル\(f^{i}\)として与えられていれば、ニュートンの運動方程式の共変形式は次式となります。 \begin{equation} \cfrac{dp^{i}}{dτ} = f^{i} \label{5-45} \end{equation} 　したがって、外力を４元ベクトルとして表すことができれば上式が適用できますが、 外力を４元ベクトルで表すことができなければ上式は適用できません。 現在知られている力では重力のみが４元ベクトルで表すことができないため、 重力が作用する空間は特殊相対性理論の適用範囲外となります。
　そこで、それを解決すべく、一般相対性理論が誕生しました。

(4)４元力の例ー電磁気力

電磁場中で電荷\(Q\)を持つ荷電粒子の非相対性運動方程式は次式で表されます。 \begin{equation} \cfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \end{pmatrix} + Q \begin{pmatrix} \ 0\ & B_{z} & -B_{y} \\ -B_{z}\ & 0 & B_{x} \\ B_{y} & -B_{x} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{pmatrix} \label{5-46} \end{equation} 上式で、時間\(t\)を固有時間τに置き換え、速度\(v^{μ}\)を４元速度\(u_{i}\)に拡張すると、次式が得られます。 \begin{equation} \cfrac{d}{dτ} \begin{pmatrix} p^{0} \\ p^{1} \\ p^{2} \\ p^{3} \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} \ 0\ & \cfrac{1}{c}E_{x} & \cfrac{1}{c}E_{y} & \cfrac{1}{c}E_{z} \\ -\cfrac{1}{c}E_{x} & 0 & B_{z} & -B_{y} \\ -\cfrac{1}{c}E_{y} & -B_{z} & 0 & B_{x} \\ -\cfrac{1}{c}E_{z} & B_{y} & -B_{x} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{0} \\ u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{pmatrix} \label{5-47} \end{equation} ここで、\(u_{i}\)は４次元速度を次式のように共変ベクトルとして表したものです。 \begin{equation} u_{i} = η_{ij}u^{j} = \begin{pmatrix} -\cfrac{dx^{0}}{dτ} \\ \ \cfrac{dx^{1}}{dτ} \\ \ \cfrac{dx^{2}}{dτ} \\ \ \cfrac{dx^{3}}{dτ} \end{pmatrix} \label{5-48} \end{equation} また、\eqref{5-47}右辺の行列は、\eqref{5-30}における電磁場のテンソル（反変テンソル）\(f^{ij}\)であるため、 運動方程式は次式で表されます。 \begin{equation} \cfrac{dp^{i}}{dτ} = {f^{i}}_{EM} \label{5-49} \end{equation} ここで、\({f^{i}}_{EM}\)は次式で表される電磁力の４元力です。 \begin{equation} {f^{i}}_{EM} = Qf^{ij} \cdot u_{j} \label{5-50} \end{equation}