光や自由粒子は、曲がった時空における２点間を結ぶ経路のうち最短経路に沿って移動又は運動します。このような最短経路を「測地線」と呼びます。
質量を持った自由粒子の運動を散り扱う「粒子の運動方程式」は光の測地線に沿った進行（経路）も取り扱うこともできるため、「測地線の方程式」とも呼ばれます。
測地線は２点間の最短経路であるため、一般的には、最小作用の原理ないし変分原理（変分法）法が使用して測地線の方程式が導出されることが多いです。
しかし、本ページでは、測地線の方程式を座標変換等を利用した方法により導出することとし、変分法による導出については、１４章の
「重力場における自由粒子の運動方程式」のページにて説明します。
等価原理により局所慣性系の平坦な時空における自由粒子の運動を求める方程式は、\( \tau \)を粒子の固有時間とすると
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{i}(\tau)}{d\tau^{2}} = 0 \label{1-1}
\end{equation}
となります。\eqref{1-1}左辺は
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{i}}{d\tau^{2}} = \cfrac{d}{d\tau} \Bigl( \cfrac{dx^{i}}{d\tau} \Bigr)
= \dd{}{x^{j}} \Bigl( \cfrac{dx^{i}}{d\tau} \Bigr) \cfrac{dx^{i}}{d\tau}
\label{1-2}
\end{equation}
と変形できるから、\eqref{1-1}から次式が得られます。
\begin{equation}
\dd{}{x^{j}} \Bigl( \cfrac{dx^{i}}{d\tau} \Bigr) \cfrac{dx^{i}}{d\tau} = 0 \label{1-3}
\end{equation}
\eqref{1-3}を一般座標系に拡張して表わすために、同式左辺の偏微分\( \partial{} / \partial x^{j} \)を共変微分\( \nabla_{j} \)に置き換え、
１０ 共変微分のページの(14)式を使用すると、同式左辺は
\begin{align}
\nabla_{j} \Bigl(\cfrac{dx^{i}}{d\tau} \Bigr) \cfrac{dx^{j}}{d\tau}
&= \Bigl( \dd{}{x^{j}} \Bigl( \cfrac{dx^{i}}{d\tau} \Bigr) + {\Gamma^{i}}_{jk} \cfrac{dx^{k}}{d\tau} \Bigr) \cfrac{dx^{j}}{d\tau} \notag \\
&= \cfrac{d}{d\tau} \Bigl( \cfrac{dx^{i}}{d\tau} \Bigr) + \Gamma^{i}_{jk} \cfrac{dx^{j}}{d\tau} \cfrac{dx^{k}}{d\tau} \notag \\
&= \cfrac{d^{2}x^{i}}{d\tau^{2}} + \Gamma^{i}_{jk} \cfrac{dx^{j}}{d\tau} \cfrac{dx^{k}}{d\tau}
\label{1-5}
\end{align}
と変形できます。
したがって、\eqref{1-3}から一般座標系における測地線の方程式
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{i}}{d\tau^{2}} + \Gamma^{i}_{jk} \cfrac{dx^{j}}{d\tau} \cfrac{dx^{k}}{d\tau} = 0 \label{1-6}
\end{equation}
が得られます。
【別解】
ある曲線が測地線であると、その曲線の接ベクトルを任意の点に平行移動させたときにその移動先の点での接ベクトルと等しくなります。
したがって、測地線のこの性質を利用して、任意な方向への微小距離の平行移動を順次繰り返すことにより測地線の方程式を得ることができます。
曲がった時空を対象とする一般座標系における曲線\( x^{i} \)上の任意の点Aにおける接ベクトル\( u^{i}(x) \)は、パラメータ\( m \)を使用して
\begin{align}
&x^{i} \equiv x^{i}(m) \label{b-1} \\
&u^{i}(m) \equiv \cfrac{dx^{i}(m)}{dm} \label{b-2}
\end{align}
と表わすことができます。
点Aでの接ベクトル\( u^{i}(x) \)を微小距離\( dx \)離れた点B（\( x+dx \)）へ平行移動したベクトル\( {u^{i}}_{||}(x\,\to \,x+dx) \)は、一般に、
\begin{equation}
{u^{i}}_{||}(x\,\to \,x+dx) = {u^{i}}(x) \label{b-3}
\end{equation}
となりますが（一般座標系における反変ベクトルの平行移動については「１０章 1.共変微分」ページ参照）、
\begin{equation}
{u^{i}}_{||}(x\, \to \, x+dx) \neq {u^{i}}(x+dx) \label{b-4}
\end{equation}
となるため、点Bへの平行移動後のベクトル\( {u^{i}}_{||}(x\, \to \, x+dx) \)は、曲線\( x^{i} \)における点Bでの接ベクトル\( {u^{i}}(x+dx) \)とは等しくありません。
したがって、曲線\( x^{i} \)が測地線であるためには、
\begin{equation}
{u^{i}}(x+dx) - {u^{i}}_{||}(x\,\to \,x+dx) = 0 \label{b-5}
\end{equation}
を満足する必要があります。
一方、曲線点\( x^{i} \)上の点Bに平行移動したベクトル\( {u^{i}}_{||}(x+dx) \)は、
同ページ、(13)、(14)式より
\begin{align}
{u^{i}}_{||}(x \to x+dx) &= u^{i}(x) - {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) dx^{j} \notag \\
&= u^{i}(x) - {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) \cfrac{dx^{j}}{dm}dm \notag \\
&= u^{i}(x) - {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) u^{j}(x)dm \quad (\because dx^{j}/dm = u^{j})
\label{b-6}
\end{align}
となります。
したがって、点Bへ平行移動後のベクトル\( {u^{i}}_{||}(x \to \, x+dx) \)が点Bにおける曲線\( x^{i} \)の接ベクトル\( {u^{i}}(x+dx) \)であるためには、
\eqref{b-6}を\eqref{b-5}に代入して得られる
\begin{equation}
u^{i}(x+dx) - u^{i}(x) + {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) u^{j}(x)dm = 0 \label{b-7}
\end{equation}
を満足しなければなりません。
ここで、\eqref{b-7}左辺は
\begin{align}
(左辺) &= dm \Bigl\{ \cfrac{ u^{i}(x+dx) - u^{i}(x) }{dm} + {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) u^{j}(x) \Bigr\} \notag \\
&= dm \Bigl\{ \frac{du^{i}}{dm} + {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) u^{j}(x) \Bigr\} \notag \\
&= dm \Bigl\{ \cfrac{d^{2}x^{i}}{dm^{2}} + {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) u^{j}(x) \Bigr\} \notag \\
\label{b-8}
\end{align}
であるから、\eqref{b-7}より、
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{i}}{dm^{2}} + {\Gamma^{i}}_{jk}(x) u^{k}(x) u^{j}(x) = 0 \label{b-9}
\end{equation}
が得られます。
したがって、パラメータ\( m \)を固有時間\( \tau \)に置き換えれば、(5)と同一の測地線の方程式
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{i}}{ d\tau^{2}} + {\Gamma^{i}}_{jk}(x) \cfrac{dx^{k}}{d\tau} \cfrac{dx^{j}}{d\tau } = 0 \label{b-10}
\end{equation}
が導出されます。