物理の一分野として、一般座標系に対して成り立つ運動方程式等を導出し、展開する力学として解析力学があります。
この解析力学においては、変分原理に基づいた変分法により運動運動方程式等の定式化が行われます。
変分法とは、簡単に言えば、関数の関数（「汎函数」といいます）の最大・最小問題を調べる手法です。
変数\(x\)の関数\(f(x)\)の最大・最小問題を取り扱う場合には、微分法が使用されて微分方程式
\begin{equation}
\cfrac{d\ f(x)}{dx} = 0 \label{1-1}
\end{equation}
を解くことにより関数\(f(x)\)の最大・最小問題を解きます。
これに対して、例えば、変数\(x\)の関数\(y(x)\)、その関数\(y\)の導関数\(\frac{dy}{dx}\)
もいわゆる”変数”とする汎函数\(I(x,y,\frac{dy}{dx})\)の最大・最小問題を取り扱うのが変分法です。
数学的には、汎仮数\(I\)の微小な変化（「変分」といいます）\(\delta I\)に対して
\begin{equation}
\delta I = 0 \label{1-2}
\end{equation}
を解いて、関数\(y(x)\)を求めます。
従来のニュートン力学等を含む多くの分野において変分法による定式化が確立しています。
対象となる力学系等の分野において、最短曲線、最速曲線等を求めるために、変数\(x\)、関数\(y(x)\)、導関数\(\dot{y}\)
についての力学系のラグランジアン\(S(x,y,\dot{y})\)についての作用積分
\begin{equation}
S(x,y,\dot{y}) = \int Ldt \label{2-1}
\end{equation}
を汎函数として\(\delta S\)を極小にする条件
\begin{equation}
\delta S = 0 \label{2-2}
\end{equation}
は次式で与えられます。
\begin{equation}
\cfrac{d}{dx} \Bigl( \dd{L}{\dot{y}} \Bigr ) - \dd{L}{y} = 0 \label{2-3}
\end{equation}
この微分方程式を「オイラー・ラグランジェ方程式」又は単に「オイラー方程式」といいます。
したがって、上記オイラー・ラグランジェ方程式を解くことにより関数\(y(x)\)を求めることができます。
【解法例１】（長さが最小となる２点を結ぶ曲線）
２次元のx-y平面座標内の点A（\(x=a,y(a)\)）と点B（\(x=b,y(b)\)とを任意の曲線で結ぶときに
その曲線の長さが最小となる曲線の式を導出します。
求める曲線に沿った２点ABを結ぶ曲線の長さ\(S\)は
\begin{equation}
S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \Bigl( \cfrac{dy}{dx} \Bigr)^{2}} dx \label{2-1-1}
\end{equation}
であるから、ラグランジアン\(L\)を
\begin{equation}
L(x,y,\dot{y}) = \sqrt{1 + \Bigl( \cfrac{dy}{dx} \Bigr)^{2}} = \sqrt{1 + {\dot{y}}^2} \label{2-1-2}
\end{equation}
とすると、オイラー・ラグランジェ方程式は
\begin{equation}
\cfrac{d}{dx} \Bigl( \dd{L}{\dot{y}} \Bigr ) - \dd{L}{y} = 0 \label{2-1-3}
\end{equation}
で表されます。
上式において、\(L\)は変数\(y\)を含まないので、\eqref{2-6}左辺第２項は0となるから、次式が得られます。
\begin{equation}
\cfrac{d}{dx} \Bigl( \cfrac{\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^{2}}} \Bigr) = 0 \label{2-1-4}
\end{equation}
この式の両辺を積分した後、２乗すると次式が得られます。
\begin{equation}
\cfrac{\dot{y}^{2}}{1 + \dot{y}^{2}} = k^{2} （定数） \label{2-1-5}
\end{equation}
\(\dot{y}^2 \lt 1+\dot{y}^{2} \)であるから、上式が成立して\(\dot{y}\)が解を持つためには
\begin{equation}
|k| \lt 1 \label{2-1-6}
\end{equation}
が成立しなければなりません。
\eqref{2-1-5}の両辺に\((1 + \dot{y}^{2})\)を乗じた後、\(\dot{y}\) を求めると
\begin{equation}
\dot{y} = \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}} \label{2-1-7}
\end{equation}
上式を積分すると、次式が得られます。
\begin{equation}
y = mx + n \label{2-1-8}
\end{equation}
\begin{equation}
m = \cfrac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}} \label{2-1-9}
\end{equation}
\eqref{2-1-8}は直線の式であるから、２点ABを通る長さが最小の曲線は直線であることが示されました。
なお、境界条件（\(x=a\)のとき\(y=y(a)\)、\(x=b\)のとき\(y=y(b)\)）より
\begin{equation}
m = \cfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \label{2-1-10}
\end{equation}
\begin{equation}
n = f(a) \label{2-1-11}
\end{equation}
となります。
【解法例２】（ニュートン力学における運動方程式）
ポテンシャル\(V(x)\)の中での質量\(m\)の質点の運動に関する（非相対論としての）ニュートンの運動方程式を導出します。
ラグランジアン\(L\)を \begin{equation} L = \cfrac{1}{2} mv^{2} - V(x) \label{2-2-1} \end{equation} と定めると、\(\dot{x^{\mu}} = v^{\mu}\)、\(mv^{\mu} = p^{\mu}\)（運動量）、\(\mu=1,2,3\)として \begin{equation} \cfrac{d}{dt} \dd{L}{\dot{x}^{\mu}} = \cfrac{d}{dt} \dd{}{v^{\mu}} \Bigl( \cfrac{1}{2}m{v^{\mu}}^{2} \Bigr) = \cfrac{d}{dt}(mv^{\mu}) = \cfrac{dp^{\mu}}{dt} \label{2-2-2} \end{equation} \begin{equation} \dd{L}{x^{\mu}} = \dd{V(x^{\mu})}{x^{\mu}} \label{2-2-3} \end{equation} であるから、オイラー・ラグランジェ方程式\eqref{2-3}に\eqref{2-2-2}及び\eqref{2-2-3}を代入すると、ニュートンの運動方程式 \begin{equation} \cfrac{dp^{\mu}}{dt} = -\dd{V(x)}{x^{\mu}} \label{2-2-4} \end{equation} が得られます。
外力を受けない自由粒子について、次の条件で求めた相対論のラグラジアン（相対論的ラグランジアン）を使用して
相対論の運動方程式（相対論的運動方程式）を導出することとします。
先ず、作用\(S\)の選定において、ローレンツ変換で不変であることからローレンツ変換に対してスカラーとすること、
及び非相対論的極限としてニュートン力学におけるラグランジアンに一致することとして、
粒子の静止質量\(m_{0}\)、粒子の経路に沿って観測される固有時間\(d\tau\)を
\begin{equation}
d\tau = \sqrt{ 1 - \Bigl| \cfrac{\dot{\bm{x}}(t)}{c} \Bigr|^{2} }\ dt \label{3-1-1}
\end{equation}
を使用し（\( \ \dot{\bm{x}}(t) = dx(t)/dt\ \)）、作用積分\(S\)を
\begin{equation}
S = -\int_{t_{0}}^{t_{1}} m_{0}c^{2} d\tau
= -m_{0}c^{2} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{1 - \frac{1}{c^{2}} | \dot{\bm{x}}(t) |^{2}} \ dt \label{3-1-2}
\end{equation}
として、ラグランジアン\(L\)を
\begin{equation}
L = -m_{0}c^{2} \sqrt{ 1 - \cfrac{1}{c^{2}} | \dot{\bm{x}}(t) |^{2} } \label{3-1-3}
\end{equation}
として設定することとします。
したがって、ローレンツ変換の係数（ \( \dot{\bm{x}} / \sqrt{ 1 - |\dot{\bm{x}} |^{2} / c^{2} } = \gamma \) ）を用いると
\begin{equation}
\dd{L}{\dot{\bm{x}}} = \dd{}{\dot{\bm{x}}} \Bigl( -m_{0}c^{2} \sqrt{ 1 - \cfrac{1}{c^{2}} | \dot{\bm{x}}(t) |^{2} } \Bigr)
= m_{0}c^{2} \cfrac{ \frac{1}{c^{2}} \dot{\bm{x}} }{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{c^{2}} | \dot{\bm{x}} |^{2} } }
= m_{0}\gamma\dot{\bm{x}} = \bm{p}
\label{3-1-4}
\end{equation}
となります。ここで、\(\bm{p}\)は相対論的運動量です。
\( \partial L/\partial \bm{x} = 0 \)であるから、\eqref{3-1-4}をオイラー・ラグランジェ方程式\eqref{2-3}に代入して
\begin{equation}
\cfrac{d\bm{p}}{d\tau} = 0 \label{3-1-5}
\end{equation}
が得られます。この\eqref{3-1-5}が外力を受けない自由粒子の相対論的運動方程式となります。
電磁場における荷電粒子の相対論的運動方程式
\begin{equation}
\cfrac{dp^{i}}{dτ} = {f_{i,}}_{EM} \label{3-2-1}
\end{equation}
ここで、\({f_{i,}}_{EM}\)は次式で表される電磁気力の４元力です。
\begin{equation}
{f_{i},}_{EM} = Q( \dd{A_{j}}{x^{i}} - \dd{A_{i}}{x^{j}} ) u^{j}
= Qf_{ij} \cdot u^{j} \label{3-2-2}
\end{equation}
を変分法により導出してます。なお、従来の手法による導出についてはこちらをご参照ください。
電磁場中の荷電粒子の運動方程式を導出するために、自由粒子のラグランジェ\(L_{m}\)に電磁場と荷電粒子との相互作用のラグランジェ\(L_{int}\)
\begin{equation}
L_{int} = Qu^{j}A_{j} \label{3-2-3}
\end{equation}
を加えたラグランジアン\(L\)
\begin{equation}
L = L_{m} + L_{int} = -mc(-\eta_{ij} \cfrac{dx^{i}}{d\tau} \cfrac{dx^{j}}{d\tau})^{1/2} + Qu^{j}A_{j} \label{3-2-4}
\end{equation}
に基づいて作用積分が狭小となる変分
\begin{equation}
\delta S = \delta \int Ld\tau = 0 \label{3-2-5}
\end{equation}
より、オイラー・ラグランジェ方程式
\begin{equation}
\cfrac{d}{d\tau}\dd{L}{u^{i}} - \dd{L}{x^{i}} = 0 \label{3-2-6}
\end{equation}
が得られます。
上式の左辺は
\begin{equation}
\cfrac{d}{d\tau}\dd{L}{u^{i}} - \dd{L}{x^{i}} = \Bigl( \cfrac{d}{d\tau}\dd{L_{m}}{u^{i}} - \dd{L_{m}}{x^{i}} \Bigr)
+ \Bigl( \cfrac{d}{d\tau}\dd{L_{int}}{u^{i}} - \dd{L_{int}}{x^{i}} \Bigr) \label{3-2-7}
\end{equation}
上式右辺１番目の括弧内は、自由粒子の運動であるため、\eqref{3-1-4}より
\begin{equation}
\cfrac{dp_{i}}{d\tau} \label{3-2-8}
\end{equation}
となり、\eqref{3-2-7}右辺の２番目の括弧内は
\begin{equation}
Q\cfrac{dA_{i}}{d\tau} - Qu^{j}\dd{A_{j}}{x^{i}} = Qu^{j}\dd{A_{i}}{x^{j}} - Qu^{j}\dd{A_{j}}{x^{i}}
= Q \Bigl( \dd{A_{i}}{x^{j}} - \dd{A_{j}}{x^{i}} \Bigr) u^{j} \label{3-2-9}
\end{equation}
となることから、これらを\eqref{3-2-7}に代入すると
るから、\eqref{3-2-6}は次式となります。
\begin{equation}
\cfrac{dp_{i}}{d\tau} + Q \Bigl( \dd{A_{i}}{x^{j}} - \dd{A_{j}}{x^{i}} \Bigr) u^{j} = 0 \label{3-2-10}
\end{equation}
が得られます。上式を変形して、電磁場における荷電粒子の相対論的運動方程式として次式が得られます。
\begin{equation}
\cfrac{dp_{i}}{d\tau} = f_{i,EM} \label{3-2-11}
\end{equation}
ここで、\(f_{i,EM}\)は次式で表される電磁気力の４元力です。
\begin{equation}
f_{i,EM} = Q \Bigl( \dd{A_{j}}{x^{i}} - \dd{A_{i}}{x^{j}} \Bigr) u^{j}
= Qf_{ij} \cdot u^{j}
\label{3-2-12}
\end{equation}
電磁場の相対論的基本方程式
\begin{equation}
\dd{f^{ik}}{x^{k}} = \mu_{0}j^{i} \label{3-3-1}
\end{equation}
を変分法により導出してます。なお、従来の手法による導出についてはこちらをご参照ください。
電磁場の基本方程式が粒子の運動方程式の取り扱いが異なるのは、運動方程式では粒子の座標\(x^{i}\)が独立な運動の自由度である粒子であるのに対して
基本方程式では無限の自由度を持つ場の量としてのベクトルポテンシャル\(A(x)\)が運動の自由度であることです。
場の量であるラグランジアン密度\(L(x)\)を空間積分したものが系のラグランジアンとなるので、
電磁場の作用\(S\)を
\begin{equation}
S = \int \Bigl\{ \int L(x)d(x)^{1}d(x)^{2}d(x)^{3} \Bigr\}dt
= \cfrac{1}{c} \int L(x)d(x)^{0}d(x)^{1}d(x)^{2}d(x)^{3}
\label{3-3-2}
\end{equation}
となります。ここで、ラグランジアン密度は、新空中の電磁場のラグランジアン密度\(L_{em}\)と、電荷とその運動による電流密度と電場との相互作用のラグランジアン密度\(L_{int}\)との和
\begin{equation}
L = L_{em} + L_{int}
\label{3-3-3}
\end{equation}
となります。ここで、スカラー量である\( f^{ij} \cdot f_{ij} \)を使用して
\begin{equation}
L_{em} = - \cfrac{1}{4\mu_{o} }f^{ij} \cdot f_{ij}
\label{3-3-4}
\end{equation}
と設定します。
また、空間内に分布する多量の荷電粒子の運動によって発生する電流によるラグランジアン密度は、\eqref{3-2-3}における\( Qu^{i} \)を４次元電流密度\( j^{j} \)に置き換えたものとなるから
\begin{equation}
L_{int} = A_{j}j^{j} \label{3-3-5}
\end{equation}
となります。ここで、\(L_{em}\)は\( {\partial A_{i}}/{\partial x^{j}} \)のみ、\(L_{int}\)は\( A_{i} \)のみの関数であるから
\begin{align}
\cfrac{\partial}{\partial x^{j}} \cfrac{\partial L}{\partial \Bigl( \cfrac{\partial {A_{i}}}{\partial {x^{j}}} \Bigr) } &= \cfrac{\partial}{\partial x^{j}} \cfrac{\partial (L_{em} + L_{int})}{\partial \Bigl( \cfrac{\partial {A_{i}}}{\partial {x^{j}}} \Bigr) } \notag \\
&= \cfrac{\partial}{\partial x^{j}} \cfrac{\partial }{\partial \Bigl( \cfrac{\partial {A_{i}}}{\partial {x^{j}}} \Bigr) } \Bigl( -\cfrac{1}{4\mu_{0}} f^{ij}\cdot f_{ij} \Bigr) \notag \\
&= - \cfrac{1}{\mu_{0}} \dd{f^{ji}}{x^{j}} \label{3-3-6} \\
\cfrac{\partial L}{\partial A_{i} } &= \cfrac{ \partial (L_{em} + L_{int}) }{\partial A_{i} } \notag \\
&= \cfrac{\partial }{\partial A_{i} } ( A_{j}j^{j} ) \notag \\
&= j^{i}
\label{3-3-7}
\end{align}
をオイラー・ラグランジェ方程式
\begin{equation}
\cfrac{\partial}{\partial x^{j}} \cfrac{\partial L}{\partial \Bigl( \cfrac{\partial {A_{i}}}{\partial {x^{j}}} \Bigr) }
- \cfrac{ \partial L }{\partial A_{i} } = 0
\label{3-3-8}
\end{equation}
に代入すると
\begin{align}
- \cfrac{1}{\mu_{0}} \dd{f^{ji}}{x^{j}} - j^{i} = 0
\label{3-3-9}
\end{align}
より
\begin{align}
\dd{f^{ij}}{x^{j}} = \mu _{0}j^{i}
\label{3-3-10}
\end{align}
が得られます。
自由粒子の運動方程式又は測地線の方程式の導出について、「１２ 重力場中の粒子の運動方程式の導出」において説明しましたが、
多くの文献等では、変分法により導出することが一般的です。以下、変分法により重力場中に拡張した自由粒子の運動方程式を導出します。
運動方程式の一般座標系への拡張は、ミンコフスキー空間の計量テンソル\(\eta_{ij}\)を一般座標系への計量テンソル\(g_{ij}\)への置き換えによるので、
\begin{equation}
\cfrac{dx}{d\tau} = \dot{x} \label{3-4-1}
\end{equation}
で表して、ラグランジアン\(L\)を
\begin{equation}
L = - mc ( -g_{ij}\dot{x}^{i} \dot{x}^{j} )^{1/2} \label{3-4-2}
\end{equation}
とし、作用積分を
\begin{equation}
S = \int Ld\tau \label{3-4-3}
\end{equation}
と設定します。ここで、固有時間\(\tau\)は
\begin{equation}
(cd\tau)^{2} = -ds^{2} = -g_{ij}dx^{i}dx^{j} \label{3-4-4}
\end{equation}
です。以下、\(g_{ij}(x) = g_{ij} \)と簡略表記します。
\begin{align}
\dd{L}{\dot{x}^{k}} &= -\cfrac{1}{2} mc ( -g_{ij} \dot{x}^{i} \dot{x}^{j} )^{-1/2} \
g_{ij} \Bigl( \cfrac{\partial \dot{x}^{i}}{\partial \dot{x}^{k}} \dot{x}^{i} + \dot{x}^{j}\cfrac{\partial \dot{x}^{j}}{\partial \dot{x}^{k}} \Bigr) \notag \\
&= -\cfrac{1}{2} mg_{ij} ( {\delta ^{i}}_{k}\dot{x}^{j} + {\dot{x}^{i}}{\delta ^{j}}_{k} )
\ \ \ ( \ \because ( -g_{ij} \dot{x}^{i} \dot{x}^{j} )^{-1/2} = c\ ) \notag \\
&= -\cfrac{1}{2}m ( g_{kj}\dot{x}^{j} + g_{ik}\dot{x}^{i} ) \ \ \
(\ \because g_{ij}{\delta ^{i}}_{k}=g_{kj},\ g_{ij}{\delta ^{j}}_{k}=g_{ik} \ ) \notag \\
&= -\cfrac{1}{2}m (2g_{ik}\dot{x}^{i}) \notag \\
&= -mg_{ik}\dot{x}^{i}
\label{3-4-5}
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\cfrac{d}{d\tau}\Bigl( \dd{L}{\dot{x}^{k}} \Bigr) &= \cfrac{d}{d\tau} ( -mg_{ik}\dot{x}^{i} ) \notag \\
&= -m \Bigl( g_{ik}\ddot{x}^{i} + \cfrac{dg_{ik}}{d\tau}\dot{x}^{i} \Bigr)
\label{3-4-6}
\end{align}
が得られます。また、
\begin{align}
\dd{L}{x^{k}} &= -\cfrac{1}{2} mc ( -g_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} )^{-1/2} \dd{}{{dx^{k}}}( g_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} ) \notag \\
&= -\cfrac{1}{2} m \Bigl\{ \dd{g_{ij}}{x^{k}}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} + g_{ij}\dd{}{x^{k}}( \dot{x}^{i}\dot{x}^{j} ) \Bigr\} \notag \\
&= -\cfrac{1}{2} m \dd{g_{ij}}{x^{k}} \dot{x}^{i}\dot{x}^{j}
\label{3-4-7}
\end{align}
となるから、
\begin{align}
\cfrac{d}{d\tau}\Bigl( \dd{L}{\dot{x}^{k}} \Bigr) - \dd{L}{x^{k}} &=
-m \Bigl( g_{ik}\ddot{x}^{i} + \cfrac{dg_{ik}}{d\tau}\dot{x}^{i} \Bigr) - \cfrac{1}{2} m \dd{g_{ij}}{x^{k}} \dot{x}^{i} \dot{x}^{j} \notag \\
&= -m \Bigl( g_{ik}\ddot{x}^{i} + \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}} \cfrac{dx^{j}}{d\tau} \dot{x}^{i} \Bigr) - \cfrac{1}{2} m \dd{g_{ij}}{x^{k}}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} \notag \\
&= -m \Bigl( g_{ik}\ddot{x}^{i} + \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}} \dot{x}^{i} \dot{x}^{j} \Bigr) - \cfrac{1}{2} m \dd{g_{ij}}{x^{k}}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} \notag \\
&= -m \Bigl\{ g_{ik}\ddot{x}^{i} + \Bigl( \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}} - \cfrac{1}{2} \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr)\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} \Bigr\}
\label{3-4-8}
\end{align}
が得られます。\eqref{3-4-8}をオイラー・ラグランジェ方程式に代入すると、
\begin{equation}
g_{ik}\ddot{x}^{i} + \Bigl( \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}} - \cfrac{1}{2} \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr)\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} = 0
\label{3-4-10}
\end{equation}
が得られます。
計量テンソル\(g_{ij}\)は対称性（\( g_{ij}=g_{ji} \)）があるので、\eqref{3-4-10}の左辺括弧内については
\begin{equation}
\Bigl( \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}} - \cfrac{1}{2} \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr) = \Bigl( \cfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^{i}} - \cfrac{1}{2} \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr)
\label{3-4-11}
\end{equation}
が成立するので、\eqref{3-4-11}の両辺の和
\begin{equation}
\cfrac{1}{2} \Bigl( \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}} + \cfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^{i}} - \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr)
\label{3-4-12}
\end{equation}
を２で割っても\eqref{3-4-10}の左辺括弧内と等しくなるため、\eqref{3-4-10}は次式のようになります。
\begin{equation}
g_{ik}\ddot{x}^{i} + \cfrac{1}{2} \Bigl( \cfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^{j}} + \cfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^{i}} - \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr)\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} = 0
\label{3-4-13}
\end{equation}
両辺に\( g^{km} \)を乗じると
\begin{equation}
g^{km}g_{ik}\ddot{x}^{i} + \cfrac{1}{2}k^{km} \Bigl( \cfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^{j}} + \cfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^{i}} - \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr)\dot{x}^{i}\dot{x}^{j} = 0
\label{3-4-14}
\end{equation}
が得られます。ここで、左辺第１項は
\begin{equation}
g^{km}g_{ik}\ddot{x}^{i} = {\delta ^{m}}_{i} \ddot{x}^{i} = \ddot{x}^{m}
\label{3-4-15}
\end{equation}
となり、\eqref{3-4-14}左辺第２項の\( \dot{x}^{i}\dot{x}^{j} \)の前の係数部分はクリストッフェル記号\( {\varGamma ^{m}}_{ij} \)
\begin{equation}
{\varGamma ^{m}}_{ij} = \cfrac{1}{2}k^{km} \Bigl( \cfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^{j}} + \cfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^{i}} - \dd{g_{ij}}{x^{k}} \Bigr)
\label{3-4-16}
\end{equation}
となるから、\eqref{3-4-14}に代入して次式が得られます。
\begin{equation}
\ddot{x}^{m} + {\varGamma ^{m}}_{ij} \dot{x}^{i}\dot{x}^{j} = 0
\label{3-4-17}
\end{equation}
上式は、重力場の質点の異運動方程式であるとともに、測地線の方程式となります。
変分法により、重力場の方程式を導出します。
系全体の作用\(S\)は重力場の作用\(S_{g}\)と物質場の作用\(ß_{m}\)と和として次式のように設定します。
\begin{align}
&S = S_{g} + S_{m} \label{3-5-1} \\
&S_{g} = \cfrac{1}{c} \int L_{g}\sqrt{-g}\ d^{4}x \label{3-5-2} \\
&S_{m} = \cfrac{1}{c} \int L_{m}\sqrt{-g}\ d^{4}x \label{3-5-3}
\end{align}
① 重力場の作用の変分\( \delta S_{g} \)
重力場のラグランジアン\(L_{g}\)を次式のとおり設定します。
\begin{equation}
L_{g} = \cfrac{c^{4}}{16\pi G} (R - 2 \varLambda ) \label{3-5-4}
\end{equation}
\( \varLambda \)は宇宙定数です。\eqref{3-5-4}右辺のスカラー曲率\(R\)を\(g^{ij}R_{ij}\)に置き換えて\eqref{3-5-4}を\eqref{3-5-2}に代入して、
\(S_{g}\)の変分をとると、次式が得られます。
\begin{align}
\delta S_{g} &= \cfrac{c^{3}}{16\pi G} \int \delta \{ ( g^{ij}R_{ij} - 2 \varLambda ) \sqrt{-g\ }\ \} d^{4}x \notag \\
&= \cfrac{c^{3}}{16\pi G} \int \{ \delta g^{ij}R_{ij} \sqrt{-g} + g^{ij}\delta R_{ij}\sqrt{-g} + ( g^{ij}R_{ij} - 2\varLambda ) \delta \sqrt{-g\ }\ \} d^{4}x
\label{3-5-5}
\end{align}
ここで、上式被積分部分の{ }内第２項中の\( \delta R_{ij} \)は
\begin{align}
\delta R_{ij} = \delta {R^{k}}_{ikj}
&= \delta ( \partial_{k}{\Gamma^{k}}_{ij} - \partial_{i}{\Gamma^{k}}_{kj} + {\Gamma^{a}}_{ij}{\Gamma^{k}}_{ka} - {\Gamma^{a}}_{kj}{\Gamma^{k}}_{ia} ) \notag \\
&= \partial_{k} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} - \partial_{i} \delta {\Gamma^{k}}_{kj}
+ \delta ( {\Gamma^{a}}_{ij}{\Gamma^{k}}_{ak} ) - \delta ( {\Gamma^{a}}_{kj}{\Gamma^{k}}_{ai} ) \notag \\
&= \partial_{k} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} - \partial_{i} \delta {\Gamma^{k}}_{kj}
+ {\Gamma^{k}}_{ak} \delta {\Gamma^{a}}_{ij} + {\Gamma^{a}}_{ij} \delta {\Gamma^{k}}_{ak}
- {\Gamma^{k}}_{ai} \delta {\Gamma^{a}}_{kj} - {\Gamma^{a}}_{kj} \delta {\Gamma^{k}}_{ai} \notag \\
&= ( \partial_{k} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} + {\Gamma^{k}}_{ak} \delta {\Gamma^{a}}_{ij} - {\Gamma^{a}}_{ki} \delta {\Gamma^{k}}_{aj} - {\Gamma^{a}}_{jk} \delta {\Gamma^{k}}_{ai} )
- ( \partial_{i} \delta {\Gamma^{k}}_{kj} + {\Gamma^{k}}_{ai} \delta {\Gamma^{a}}_{kj} - {\Gamma^{a}}_{ki} \delta {\Gamma^{k}}_{aj}- {\Gamma^{a}}_{ij} \delta {\Gamma^{k}}_{ak} )
\label{3-5-6}
\end{align}
となります。また、
\begin{align}
\delta {\Gamma^{a}}_{ij} &= \delta \{ \cfrac{1}{2} g^{al} ( \partial_{i} g_{jl} + \partial_{j} g_{li} - \partial_{l} g_{ij} ) \} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} g^{al} ( \partial_{i} \delta g_{jl} + \partial_{j} \delta g_{li} - \partial_{l} \delta g_{ij} )
+ \cfrac{1}{2} \delta g^{al} ( \partial_{i} g_{jl} + \partial_{j} g_{li} - \partial_{l} g_{ij} ) \notag \\
&= \cfrac{1}{2} g^{al} ( \partial_{i} \delta g_{jl} + \partial_{j} \delta g_{li} - \partial_{l} \delta g_{ij} )
- g^{am} \cfrac{1}{2} g^{al} ( \partial_{i} g_{jl} + \partial_{j} g_{li} - \partial_{l} g_{ij} ) \delta g_{mn} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} g^{al} ( \partial_{i} \delta g_{jl} + \partial_{j} \delta g_{li} - \partial_{l} \delta g_{ij} )
- g^{am} {\Gamma^{n}}_{ij} \delta g_{mn} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} g^{al} ( \partial_{i} \delta g_{jl} + \partial_{j} \delta g_{li} - \partial_{l} \delta g_{ij}
- 2 {\Gamma^{n}}_{ij} \delta g_{mn} ) \notag \\
&= \cfrac{1}{2} g^{al} ( \partial_{i} \delta g_{jl} + \partial_{j} \delta g_{li} - \partial_{l} \delta g_{ij}
- {\Gamma^{m}}_{il} \delta g_{mj} - {\Gamma^{m}}_{ij} \delta g_{mn} - {\Gamma^{m}}_{ij} \delta g_{mn}
- {\Gamma^{m}}_{jk} \delta g_{im} + {\Gamma^{m}}_{li} \delta g_{mj} + {\Gamma^{m}}_{lj} \delta g_{im} ) \notag \\
&= \cfrac{1}{2} g^{al} \{
( \partial_{i} \delta g_{jl} - {\Gamma^{m}}_{il} \delta g_{mj} - {\Gamma^{m}}_{ij} \delta g_{mn} )
+ ( \partial_{j} \delta g_{li} - {\Gamma^{m}}_{ij} \delta g_{mn} - {\Gamma^{m}}_{jk} \delta g_{im} )
- ( \partial_{l} \delta g_{ij} - {\Gamma^{m}}_{li} \delta g_{mj} - {\Gamma^{m}}_{lj} \delta g_{im} )
\} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} ( g^{al} \nabla_{i} \delta g_{lj} + \nabla_{j}\delta g_{il} - \nabla_{l} \delta g_{ij} ) \notag \\
&= \cfrac{1}{2} \{ \nabla_{i} ( g^{al} \delta g_{lj} ) + \nabla_{j} ( g^{al} \delta g_{il} )
- \nabla_{l} ( g^{al} \delta g_{ij} ) \}
\label{3-5-7}
\end{align}
であるから、\( \delta {\Gamma^{a}}_{ij} \)はテンソルであり、共変微分がとれます。
そこで、\( \delta {\Gamma^{k}}_{ij} \)の共変微分をとると
\begin{equation}
\nabla_{b} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} =
\partial_{b} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} + {\Gamma^{k}}_{ba} \delta {\Gamma^{a}}_{ij}
- {\Gamma^{a}}_{bi} \delta {\Gamma^{k}}_{aj} - {\Gamma^{a}}_{bj} \delta {\Gamma^{k}}_{ia}
\label{3-5-8}
\end{equation}
であるから、
\begin{align}
\nabla_{k} \delta {\Gamma^{k}}_{ij}
&= \partial_{k} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} + {\Gamma^{k}}_{ka} \delta {\Gamma^{a}}_{ij}
- {\Gamma^{a}}_{ik} \delta {\Gamma^{k}}_{aj} - {\Gamma^{a}}_{jk} \delta {\Gamma^{k}}_{ia}
\label{3-5-9} \\
\nabla_{i} \delta {\Gamma^{k}}_{kj}
&= \partial_{i} \delta {\Gamma^{k}}_{kj} + {\Gamma^{k}}_{ia} \delta {\Gamma^{a}}_{kj}
- {\Gamma^{a}}_{ki} \delta {\Gamma^{k}}_{aj} - {\Gamma^{a}}_{ji} \delta {\Gamma^{k}}_{ka}
\label{3-5-10}
\end{align}
となります。したがって、\eqref{3-5-6}の右辺の１番目の括弧内の項は\eqref{3-5-9}の\( \nabla_{k} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} \)と等しく、
同２番目の括弧ないの項は\eqref{3-5-10}の\( \nabla_{i} \delta {\Gamma^{k}}_{kj} \)と等しくなるので、
\begin{equation}
\delta R_{ij} = \nabla_{k} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} - \nabla_{i} \delta {\Gamma^{k}}_{kj} \label{3-5-11}
\end{equation}
となります。\( \delta R_{ij} \)に計量テンソル\( g^{ij} \)をかけると、
\begin{align}
g^{ij} \delta R_{ij} &= \nabla_{k} ( g^{ij} \delta {\Gamma^{k}}_{ij} ) - \nabla_{i} ( g^{ij} \delta {\Gamma^{k}}_{kj} ) \notag \\
&= \nabla_{k} ( g^{ij}\delta {\Gamma^{k}}_{ij} - g^{kj}\delta {\Gamma^{i}}_{ij} ) \notag \\
&= \nabla_{k} A^{k}
\label{3-5-12}
\end{align}
となります。ここで、\( A^{k} \)は次式で定義されます。
\begin{equation}
A^{k} = g^{ij}\delta {\Gamma^{k}}_{ij} - g^{kj}\delta {\Gamma^{i}}_{ij} \label{3-5-13}
\end{equation}
ガウスの定理より
\begin{align}
\int g^{ij} \delta R_{ij} \sqrt{-g }d^{4}x &= \int \nabla_{k}A^{k} \sqrt{-g\ }d^{4}x \notag \\
&= \int \dd{}{x^{k}} \Bigl( \sqrt{-g\ }A^{k} \Bigr) d^{4}x \notag \\
&= \int \sqrt{-g\ }A^{k}dS_{k} \notag \\
&= 0 \quad (\because 無限遠方の境界での{\Gamma^{k}}_{ij}=0 \to A^{k}=0 )
\label{3-5-14}
\end{align}
となるから、\eqref{3-5-5}の被積分の括弧内の第２項の積分は\( 0 \)となります。
\eqref{3-5-5}の被積分の括弧内の第３項の\( \delta \sqrt{-g} \)は、計量テンソルの微分公式の(14)式より
\begin{equation}
\delta \sqrt{-g} = - \cfrac{\delta g}{2\sqrt{-g\ }} = - \cfrac{1}{2} \sqrt{-g\ } g_{ij} \delta g^{ij} \label{3-5-15}
\end{equation}
となります。
以上の結果を踏まえると、\(ß_{g}\)の変分\( \delta S_{g} \)の\eqref{3-5-5}から
\begin{align}
\delta S_{g} &= \cfrac{c^{3}}{16\pi G} \int \Bigl( R_{ij} - \cfrac{1}{2} Rg_{ij} + \varLambda g_{ij} \Bigr) \delta g^{ij} \sqrt{-g\ } d^{4}x \label{3-5-16}
\end{align}
が得られます。
② 物質場の作用の変分\( \delta S_{m} \)
エネルギー運動量テンソル\( T_{ij} \)を
\begin{equation}
T_{ij} = - \cfrac{2}{\sqrt{-g\ }} \Biggl\{ \dd{}{x^{k}} \Biggl( \dd{ (L\sqrt{-g\ })} { \Bigl( \cfrac{\partial g^{ij}} { \partial x^{k}} \Bigr) } \Biggr) - \dd{ L\sqrt{-g\ }}{g^{ij}} \Biggr\} \label{3-5-21}
\end{equation}
と定義すると、この\( T_{ij} \)は明らかに対称テンソルとなります。なお、
\begin{equation}
\nabla_{k} T_{ij} = 0 \label{3-5-22}
\end{equation}
となるため、\eqref{3-5-22}はエネルギー保存則となっており、物理系の作用\( S \)が微小座標変換に対して不変です。
\eqref{3-5-21}を\eqref{3-5-3}に代入すると、物質場の作用の変分\( \delta_{m} \)は
\begin{equation}
\delta S_{m} = - \cfrac{1}{2c} \int T_{ij} \delta g^{ij} \sqrt{-g\ } d^{4}x \label{3-5-23}
\end{equation}
となります。
③ 系全体の作用の変分\( \delta S \)
上記①、②より、系全体の作用の変分\( \delta S \)は \begin{equation} \delta S = - \cfrac{1}{2c} \int \Bigl\{ \cfrac{c^{4}}{8\pi G} \Bigl( R_{ij} - \cfrac{1}{2} Rg_{ij} + \varLambda g_{ij} \Bigr) - T_{ij} \Bigr\} \delta g^{ij}\sqrt{-g\ } d^{4}x \label{3-5-24} \end{equation} となります。\eqref{3-5-24}において、任意の変分\( \delta g^{ij} \)に対して \( \delta S=0 \) より、重力場の方程式 \begin{equation} R_{ij} - \cfrac{1}{2} Rg_{ij} + \varLambda g_{ij} = \cfrac{8 \pi G}{c^{4}} T_{ij} \label{3-5-25} \end{equation} が得られます。