平坦な空間\( (x,y,z) \)を扱うニュートン力学における重力場の方程式としてポアソン方程式
\begin{equation}
\Delta \phi \equiv \cfrac{\partial ^{2} \phi}{\partial x^{2}} + \cfrac{\partial ^{2} \phi}{\partial y^{2}} + \cfrac{\partial ^{2} \phi}{\partial z^{2}}
= 4 \pi G \rho
\label{1-1}
\end{equation}
では、右辺の質量分布\(\rho (x,y,z)\)に基づき、左辺の重力場のポテンシャル\( \phi (x,y,z) \)が定まります（\(G\)は重力定数）。
そこで、アインシュタインは曲がった時空への重力場方程式への拡張を考え、ポアソン方程式と同様な形式の重力場の方程式を模索しました。
先ず、ニュートン力学でのポアソン方程式の右辺に現れる質量密度\(\rho\)に対応する相対論的パラメータとして２階共変テンソルであるエネルギー運動量テンソル\(T_{ij} \ (i,j=0,1,2,3) \)を選定し、
ポアソン方程式の左辺のポテンシャル\(\phi\)に対応する相対論的パラメータとして、曲がった時空を取り扱うため、
計量テンソル\(g_{ij}\)の関数であって時空の性質を表わす２階共変テンソル\(X_{ij}\)を考えて、重力場の方程式について\(\kappa\)を定数として
\begin{equation}
X_{ij} = \kappa T_{ij} \label{1-2}
\end{equation}
と設定することとします。
ここで、エネルギー運動量テンソル\(T_{ij}\)は、エネルギー運動量保存則
\begin{equation}
\nabla _{j} T^{ij} = 0 \label{1-3}
\end{equation}
を満たしているため、テンソル\(X_{ij}\)も
\begin{equation}
\nabla _{j} X^{ij} = 0 \label{1-4}
\end{equation}
を満たしている必要があります。
以上を踏まえて、アインシュタインは、\eqref{1-2}左辺の２階共変テンソル\(X_{ij}\)として２階共変テンソルであって発散が\(0\)
となるアインシュタインテンソル\(G_{ij}\)
\begin{equation}
X_{ij} = G_{ij} \equiv R_{ij} - \cfrac{1}{2}g_{ij}R \label{1-5}
\end{equation}
を導入しました。ここで、\(R_{ij}\)はリッチテンソル、
\(R\)はスカラー曲率です。
\eqref{1-5}を\eqref{1-2}に代入すると、重力場の方程式は次式で表わされます。
\begin{equation}
R_{ij} - \cfrac{1}{2}g_{ij}R = \kappa T_{ij} \label{1-6}
\end{equation}
\eqref{1-6}の両辺に\(g^{ij}\)を乗じて縮約すれば、左辺、右辺は \begin{align} &(左辺)\ =\ g^{ij}R_{ij} - \cfrac{1}{2} g^{ij}g_{ij}R = \ R - \cfrac{1}{2} 4R = - R \label{2-1} \\ &(右辺)\ =\ \kappa g^{ij} T_{ij} = \kappa T \label{2-2} \end{align} となります。ここで、\(T\)は次式で定義されるスカラーです。 \begin{equation} T \equiv g^{ij}T_{ij} \label{2-3} \end{equation} \eqref{2-1}、\eqref{2-2}より \begin{equation} \kappa T = -R \label{2-4} \end{equation} が得られます、\eqref{2-4}の\(R\)を\eqref{1-6}に代入して整理すると \begin{equation} R_{ij} = \kappa \Bigl( T_{ij} + \cfrac{1}{2}g_{ij}T \Bigr) \label{2-5} \end{equation} が得られます。
\eqref{2-5}に基づいて定数\(\kappa\)を求めるために、先ず、\eqref{2-5}左辺にあるリッチテンソル\(R_{ij}\)の\( (0,0) \)成分である\(R_{00}\)を算出します。
リッチテンソルの定義式より、\(R_{00}\)は
\begin{equation}
R_{00} = \dd{{\Gamma^{k}}_{00}}{x^{k}} - \dd{{\Gamma^{k}}_{0k}}{x^{0}}
+ {\Gamma^{a}}_{00}{\Gamma^{k}}_{ak} - {\Gamma^{a}}_{0k}{\Gamma^{k}}_{a0} \label{3-1}
\end{equation}
上式において、第２項は時空が静的すなわち時間の変化がないので時間微分は\(0\)となります。
また、第３、４項はクリストッフェル記号（時空の曲がり具合を示す量）の積であるため、
曲がりが小さいことから高次微小項として無視できます。したがって、\(R_{00}\)は
\begin{equation}
R_{00} = \dd{{\Gamma^{k}}_{00}}{x^{k}} \label{3-2}
\end{equation}
となります。ここで、弱い重量場中の粒子の運動の場合におけるクリストッフェル記号の成分\( {\Gamma^{k}}_{00} \)は
\begin{equation}
{\Gamma^{k}}_{00} = - \cfrac{1}{2}\dd{h_{00}}{x^{k}}
= - \cfrac{1}{2}\dd{}{x^{k}} \Bigl( -\cfrac{2}{{c^{2}}} \phi \Bigr)
= \cfrac{1}{c^{2}} \dd{\phi}{x^{k}} \label{3-3}
\end{equation}
であるため、
\begin{equation}
R_{00} = \cfrac{1}{c^{2}} \dd{}{x^{k}} \dd{\phi}{x^{k}}
= \cfrac{1}{c^{2}} \Delta \phi \label{3-4}
\end{equation}
となります。
次に、\eqref{2-5}右辺にある「\(\ T_{ij} + \cfrac{1}{2}g_{ij}T\ \)」の\( (0,0) \)成分を算出します。
エネルギー運動量テンソル\(T_{ij}\)の\( (0.0) \)成分である\(T_{00}\)は、Ⅴ章２項の「(5)エネルギー運動量テンソル」の(9)式より、
\( \gamma = 1 \)として
\begin{equation}
T_{00} = \rho c^{2} \label{4-1}
\end{equation}
となります。また、スカラー\(T\)は、\(T_{ij}\)を縮約したものであるため
\begin{equation}
T = g^{00}T_{00} = \eta ^{00} T_{00} = -T_{00} = -\rho c^{2} \label{4-2}
\end{equation}
となります。したがって、\( g_{00}=\eta_{00}=1 \)であるから
\begin{equation}
T_{00} + \cfrac{1}{2}g_{00}T = \rho c^{2} - \cfrac{1}{2} \rho c^{2} = \cfrac{1}{2} \rho c^{2} \label{4-3}
\end{equation}
となります。
\eqref{3-4}、\eqref{4-3}を\eqref{2-5}に代入すると
\begin{equation}
\cfrac{1}{c^{2}} \Delta \phi = \kappa \cfrac{1}{2} \rho c^{2} \label{5-1}
\end{equation}
が得られます。
ここで、非相対論的極限において\(\phi\)はポアソン方程式\eqref{1-1}を満たしていなければならないため、
\begin{equation}
\Delta \phi = 4 \pi G \rho \label{5-2}
\end{equation}
となります。\eqref{5-2}を\eqref{5-1}に代入して得られた
\begin{equation}
\cfrac{1}{c^{2}} 4 \pi G \rho = \kappa \cfrac{1}{2} \rho c^{2} \label{5-3}
\end{equation}
から定数\(\kappa\)を求めると
\begin{equation}
\kappa = \cfrac{8 \pi G }{c^{4}} \label{5-4}
\end{equation}
が得られます。
したがって、\eqref{5-4}を\eqref{1-5}に代入することにより重力場の方程式
\begin{equation}
R_{ij} - \cfrac{1}{2}g_{ij}R = \cfrac{8 \pi G }{c^{4}} T_{ij} \label{5-5}
\end{equation}
が得られました。