重力場中の粒子の運動方程式は、τを固有時間として次式で与えられます。
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{m}}{dτ^{2}} + {\Gamma^{m}}_{ij}\cfrac{dx^{i}}{dτ}\cfrac{dx^{j}}{dτ} = 0 \label{d1}
\end{equation}
ここで、\({\Gamma^{m}}_{ij}\) は次式で定義されるクリストッフェル記号（詳細は第１０章第10.1項参照）です。
\begin{equation}
{\Gamma^{m}}_{ij} = \frac{1}{2}g^{ml}\Bigl(\dd{g_{jl}}{x^{i}}+\dd{g_{li}}{x^{j}}-\dd{g_{ij}}{dx^{l}} \Bigr) \label{d2}
\end{equation}
また、\(g^{ml}\)はリーマン空間の計量テンソル\(g_{ik}\)の逆行列（\(g^{ml}g_{il}={\delta^{m}}_{i}\)）です。
\({\Gamma^{m}}_{ij}={\Gamma^{m}}_{ji}\)であるので、クリストッフェル記号は対称性があります。
前節で導いた運動方程式\eqref{d1}を用いて、時空がほとんどミンコフスキー空間であり、そこからのズレが微小である場合の粒子の運動について検討します。
【仮定１】計量は次のとおりとします。 \begin{equation} g_{ij}(x) = \eta_{ij}+h_{ij}(x) \notag \end{equation} \begin{equation} \eta_{ij} = \begin{pmatrix} -1\ & 0\ & 0\ & 0 \\ 0\ & 1\ & 0\ & 0 \\ 0\ & 0\ & 1\ & 0 \\ 0\ & 0\ & 0\ & 1 \end{pmatrix} \label{d3} \end{equation} \begin{equation} |h_{ij}(x)|\ll 1 \notag \end{equation}
【仮定２】計量\(g_{ij}(x)\)は時間\(x^{0}\)によらない定常な重力場とします。 このような重力場を定常な重力場といいます。
【仮定３】計量の成分\(g_{0μ}(x)\)は以下のとおりとします。 ただし、\(μ=1,2,3\)とします。 \begin{equation} g_{0μ}(x) = 0 \label{d4} \end{equation} このような重力場では、時間反転について普遍なので、静的な重力場といいます。
【仮定４】運動の速度は光速に比べ十分小さいとします。 \begin{equation} u^{μ}= \cfrac{dx^{μ}}{dτ} \ll c \label{d5} \end{equation}
仮定１よりクリストッフェル記号は\eqref{d2}より
\begin{equation}
{\Gamma^{m}}_{ij} = \frac{1}{2}η^{ml}\Bigl(\dd{h_{jl}}{x^{i}}+\dd{h_{li}}{x^{j}}-\dd{h_{ij}}{dx^{l}} \Bigr) \label{d6}
\end{equation}
となり、運動方程式は\eqref{d1}より
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{μ}}{dτ^{2}} + {\Gamma^{μ}}_{00}\Bigl(\cfrac{cdt}{dτ}\Bigr)^{2} = 0 \label{d7}
\end{equation}
となります（ただし、\(x^{0}=ct\)）。
したがって、運動方程式は次式となります。
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{μ}}{dτ^{2}} = -c^{2}{\Gamma^{μ}}_{00} \label{d8}
\end{equation}
上式より、クリストッフェル記号\({\Gamma^{m}}_{ij}\)は重力加速度に対応しています。
\eqref{d6}より、クリストッフェル記号の成分\({\Gamma^{μ}}_{00}\)は
\begin{equation}
{\Gamma^{μ}}_{00} = \frac{1}{2}η^{μν}\Bigl(-\dd{h_{00}}{x^{ν}} \Bigr) = -\cfrac{1}{2}\dd{h_{00}}{x^{ν}} \label{d9}
\end{equation}
であり、運動方程式は次式となります。
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{μ}}{dt^{2}} = \frac{c^{2}}{2}\dd{h_{00}}{x^{μ}} \label{d10}
\end{equation}
上式をニュートン力学における重力場ポテンシャル\(\phi (x)\)中の粒子の運動方程式
\begin{equation}
\cfrac{d^{2}x^{μ}}{dt^{2}} = -\dd{\phi (x)}{x^{μ}} \label{d11}
\end{equation}
と比較すると、計量テンソルの微小成分\(h_{00}\)は
\begin{equation}
h_{00} = -\frac{2}{c^{2}}\phi (x) \label{d12}
\end{equation}
に対応しています。したがって、\eqref{d3}より計量テンソルの成分\(g_{00}\)が
\begin{equation}
g_{00} = -1-\frac{2}{c^{2}}\phi (x) \label{d13}
\end{equation}
に対応しています。
「第３章 等価原理」の「3.1 等価原理の導入」において、
一様な重量場は座標変換により重力場を消去して慣性系にすることができることが等価原理であると説明しました。
ただし、全時空にわたり一様な重力場ではなく、局所的に一様な重力場であることが条件となります。
運動方程式\eqref{d1}を前記「第３章 等価原理」の「コラム５ 慣性質量と重力質量」運動方程式(e7)と対比すると、
\eqref{d7}のクリストッフェル記号\({\Gamma^{m}}_{ij}\)が(e7)の重力加速度\(g\)に対応しています。
\eqref{d2}で定義されるクリストッフェル記号\({\Gamma^{m}}_{ij}\)は、対称性すなわち
\begin{equation}
{\Gamma^{m}}_{ij}(x) = {\Gamma^{m}}_{ji}(x) \label{d14}
\end{equation}
が成立するため、局所的にクリストッフェル記号\({\Gamma^{m}}_{ij}(x)\)の全成分を座標変換により0にすることができます
（第１０章の「10.1項」参照）。
したがって、等価原理によって任意の点の近傍では座標変換によって全成分を0にすることができます。
このようにして局所的に重力を消去された座標系を局所慣性系といいます。