第５章の5.3 重力場方程式の意義で説明したように、
重力場の方程式では、重力場の源を表わす右辺のエネルギー運動量テンソルに基づいて、４次元時空の歪みを表わす左辺のアインシュタインテンソルが求まります。
そのため、例えば、超新星爆発等により重力源が消失した時は、４次元時空の歪みが変化します。
したがって、電磁場の変化による電磁波の発生と伝搬と同様に、重力場においても、重力場の変化による重力波の発生と伝搬が存在します。
アインシュタイン自身も重力波の存在については気づいていたようですが、
電磁波に比べて重力波は非常に微弱で検出が困難だったため、一般相対性理論の発表後長期間検出されませんでした。
しかし、テイラーとワイズバーグは２つの近接した中性子星（連星パルサー）からの周期的パルス電波を長期間測定し、1981年、間接的に重力波の存在を照明しました。
また、2015年には、米国レーザー干渉系重力波観測所LIGO（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatry、ライゴ）で
連星ブラックホールが合体したときの重力波の直接観測に成功しました。
電磁波を記述する電磁場方程式と異なり、重力場の方程式は非線形方程式であるため、振幅の大きな波動や歪みの大きな時空での波動を解析的に求めるのは、一般に困難です。
そこで、弱い重量場における時空の重力波の方程式を導出することとします。
平坦な時空であるミンコフスキー時空から微小ずれた時空の重力場の方程式を導出します。
まず、ミンコフスキー計量\( \eta_{ij} \)からの微小ずれ\( h_{ij} \)についての時空の計量\( g_{ij} \)を
\begin{align}
& g_{ij} = \eta_{ij} + h_{ij} \label{1-1} \\
& |h_{ij}(x)| \ll 1 \label{1-2}
\end{align}
と表わすこととし、\( h_{ij} \)の２次以上の項は無視するものとします。
このとき、
\begin{align}
& g^{ij} = \eta^{ij} - h^{ij} \label{1-3} \\
& \eta^{ij} = \eta_{ij} \label{1-4}
\end{align}
となります。
ここで、ミンコフスキー時空からの微小ずれ\( h_{ij} \)についてアインシュタインテンソル\( G_{ij} \)
\begin{equation}
G_{ij} = R_{ij} - \cfrac{1}{2} R g_{ij} \label{1-5}
\end{equation}
に対応したパラメータ\( \phi_{ij} \)を
\begin{align}
& \phi_{ij} \equiv h_{ij} - \cfrac{1}{2} {g_{ij}}h = h_{ij} - \cfrac{1}{2} {\eta_{ij}} h_{ij} \label{1-6} \\
& h \equiv {h^{i}}_{i} = g^{ij}h_{ij} = \eta^{ij}h_{ij} \label{1-7}
\end{align}
と設定すると
\begin{align}
& h_{ij} = \phi_{ij} - \cfrac{1}{2} \phi \eta_{ij} \label{1-8} \\
& \phi = {\phi^{i}}_{i} = - h \label{1-9}
\end{align}
と表わすことができます。
この時空において重力場の方程式を書き直します。
クリストッフェル記号（「第１０章」の(7)式参照）は、
\begin{align}
{\Gamma^{k}}_{ij}(x) &= \frac{1}{2} g^{kl} \Biggl( \dd{g_{jl}}{x^{i}} + \dd{g_{il}}{x^{j}} - \dd{g_{ij}}{x^{l}} \Biggr) \notag \\
& \fallingdotseq \frac{1}{2} \eta^{kl} \Biggl( \dd{h_{jl}}{x^{i}} + \dd{h_{li}}{x^{j}} - \dd{h_{ij}}{x^{l}} \Biggr) \notag \\
\label{1-10}
\end{align}
となります。
リーマンテンソルは、（「第１１章」の(2)式より
\begin{align}
{R^{l}}_{ijk} & \equiv \dd{{\Gamma^{l}}_{ik}}{x^{j}} - \dd{{\Gamma^{l}}_{jk}}{x^{i}}
+ {\Gamma^{a}}_{ik}{\Gamma^{l}}_{aj} - {\Gamma^{a}}_{jk}{\Gamma^{l}}_{ai} \notag \\
& \fallingdotseq \dd{{\Gamma^{l}}_{ik}}{x^{j}} - \dd{{\Gamma^{l}}_{jk}}{x^{i}} \notag \\
&= \dd{}{x^{j}} \Biggl\{ \cfrac{1}{2} \eta^{la} \Biggl( \dd{h_{ka}}{x_{i}} + \dd{h_{ia}}{x^{k}} - \dd{h_{ik}}{x^{a}} \Biggr) \Biggr\}
- \dd{}{x^{i}} \Biggl\{ \cfrac{1}{2} \eta^{la} \Biggl( \dd{h_{ka}}{x^{j}} + \dd{h_{ja}}{x^{k}} - \dd{h_{jk}}{x^{a}} \Biggr) \Biggr\} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} \eta^{la} \Biggl\{ \dd{}{x^{j}} \Biggl( \dd{h_{ka}}{x^{i}} + \dd{h_{ia}}{x^{k}} - \dd{h_{ik}}{x^{a}} \Biggr)
- \dd{}{x^{i}} \Biggl( \dd{h_{ka}}{x^{j}} + \dd{h_{ja}}{x^{k}} - \dd{h_{jk}}{x^{a}} \Biggr) \Biggr\} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} \eta^{la} \Biggl\{
\Biggl( \cfrac{\partial^{2} h_{ka}}{\partial x^{j} \partial x^{i}} + \cfrac{\partial^{2} h_{ia}}{\partial x^{j} \partial x^{k}} - \cfrac{\partial^{2} h_{ik}}{\partial x^{j} \partial x^{a}} \Biggr)
- \Biggl( \cfrac{\partial^{2} h_{ka}}{\partial x^{i} \partial x^{j}} + \cfrac{\partial^{2} h_{ja}}{\partial x^{i} \partial x^{k}} - \cfrac{\partial^{2} h_{jk}}{\partial x^{i} \partial x^{a}} \Biggr)
\Biggr\} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} \eta^{la}
\Biggl( \cfrac{\partial^{2} h_{ia}}{\partial x^{j} \partial x^{k}} - \cfrac{\partial^{2} h_{ik}}{\partial x^{j} \partial x^{a}}
- \cfrac{\partial^{2} h_{ja}}{\partial x^{i} \partial x^{k}} + \cfrac{\partial^{2} h_{jk}}{\partial x^{i} \partial x^{a}} \Biggr)
\label{1-11}
\end{align}
となります。したがって、リッチテンソルは
\begin{align}
R_{ik} &= {R^{j}}_{ijk} \notag \\
&= \cfrac{1}{2} \eta^{ja}
\Biggl( \cfrac{ \partial^{2} h_{ia} }{ \partial x^{j} \partial x^{k} } - \cfrac{ \partial^{2} h_{ik} }{ \partial x^{j} \partial x^{a} }
- \cfrac{ \partial^{2} h_{ja} }{ \partial x^{i} \partial x^{k} } + \cfrac{ \partial^{2} h_{jk} }{ \partial x^{i} \partial x^{a} } \Biggr) \notag \\
&= \cfrac{1}{2}
\Biggl( \cfrac{ \partial^{2} {h^{a}}_{k} }{ \partial x^{i} \partial x^{a} } + \cfrac{ \partial^{2} {h^{j}}_{i} }{ \partial x^{j} \partial x^{k} }
- \cfrac{ \partial^{2} h }{ \partial x^{i} \partial x^{k} }
- \eta^{ja} \cfrac{ \partial^{2} h_{ik} }{\partial x^{j} \partial x^{a} } \Biggr) \notag \\
&= \cfrac{1}{2}
\Biggl( \cfrac{ \partial^{2} {h^{a}}_{k} }{ \partial x^{i} \partial x^{a} } + \cfrac{ \partial^{2} {h^{j}}_{i} }{ \partial x^{j} \partial x^{k} }
- \cfrac{ \partial^{2} h }{ \partial x^{i} \partial x^{k} }
- \square h_{ik} \Biggr) \notag \\
&= \cfrac{1}{2}
\Biggl( \cfrac{ \partial^{2} {h^{j}}_{k} }{ \partial x^{i} \partial x^{j} } + \cfrac{ \partial^{2} {h^{j}}_{i} }{ \partial x^{j} \partial x^{k} }
- \cfrac{ \partial^{2} h }{ \partial x^{i} \partial x^{k} }
- \square h_{ik} \Biggr) \quad (\because a \to j) \\
&= \cfrac{1}{2} \Biggl\{
\dd{}{x^{i}} \Biggl( \dd{{h^{j}}_{k}}{x^{j}} - \cfrac{1}{2} \dd{h}{x^{k}} \Biggr)
+ \dd{}{x^{k}} \Biggl( \dd{ {h^{j}}_{i}}{x^{j}} - \cfrac{1}{2} \dd{h}{x^{i}} \Biggr)
- \square h_{ik}
\Biggr\}
\label{1-12}
\end{align}
となります。ここで、記号\( \square \)は
\begin{align}
\square &= - \dd{^{2}}{ (ct)^{2} } + \dd{^{2}}{ x^{2} } + \dd{^{2}}{ y^{2} } + \dd{^{2}}{ z^{2} } \notag \\
&= - \dd{^{2}}{ (x^{0})^{2} } + \dd{^{2}}{ (x^{1})^{2} } + \dd{^{2}}{ (x^{2})^{2} } + \dd{^{2}}{ (x^{3})^{2} } \notag \\
&= \eta^{lm} \dd{}{x^{l}} \dd{}{x^{m}}
\label{1-13}
\end{align}
で定義されるダランベール演算子（ダランベリアン）です。
さて、ここで方程式を見やすい形式にするために、微小量\( \xi^{i}(x) \)だけ座標系を移動させる微小座標変換
\begin{equation}
x^{i^{\prime}} = x^{i} + \xi^{i} \label{1-14}
\end{equation}
による座標変換を行うこととします。このような座標変換を『ゲージ変換」といいます。
まず、新座標系\( x^{i^{\prime}} \)での\( h_{ij} \)の成分\( h_{ i^{\prime} j^{\prime} } \)を求めます。
\begin{align}
\eta_{ i^{\prime} j^{\prime} } + h_{ i^{\prime} j^{\prime} }
&= { g_{ i^{\prime} } }_{ j^{\prime} }
= \dd{ x^{k} }{ x^{ i^{\prime} } } \dd{ x^{l} }{ x^{ j^{\prime} } } g_{kl} \notag \\
&= \Biggl( {\delta^{k}}_{i} - \dd{\xi^{k}}{ x^{ i^{\prime} }} \Biggr) \Biggl( {\delta^{l}}_{j} - \dd{\xi^{l}}{ x^{ j^{\prime}} } \Biggr) ( \eta_{kl} + h_{kl} )
\quad (\because x^{i} = x^{i^{\prime}} - \xi^{i} \, \ g_{kl} = \eta_{kl} + h_{kl} ) \notag \\
& \fallingdotseq {\delta^{k}}_{i} {\delta^{l}}_{j} \eta_{kl} - {\delta^{k}}_{i} \dd{\xi^{l}}{ x^{j^{\prime}} } \eta_{kl}
- \dd{\xi^{k}}{ x^{i^{\prime}} } {\delta^{l}}_{j} \eta_{kl} + {\delta^{k}}_{i} {\delta^{l}}_{j} h_{kl}
\quad \Bigl( \because \dd{\xi^{k}}{x^{ i^{\prime} }} \ ,\ \dd{\xi^{l}}{x^{ j^{\prime} }} \ ,\ h_{kl} \ll 1 \Bigr) \notag \\
&= \eta_{ij} - \eta_{il} \dd{ \xi^{l} }{ x^{j^{\prime}} } - \eta_{jk} \dd{\xi^{k}}{ x^{i^{\prime}} } + h_{ij} \notag
\end{align}
であるから、
\begin{equation}
{\eta_{i^{\prime}}}_{j^{\prime}} \fallingdotseq {\eta_{i}}_{j} \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\dd{}{x^{l^{\prime}}} \fallingdotseq \dd{}{x^{l}} \notag
\end{equation}
を利用すると
\begin{align}
h_{ i^{\prime} j^{\prime} } = h_{ij} - \eta_{ik} \dd{ \xi^{k} }{ x^{j} } - \eta_{jk} \dd{\xi^{k}}{ x^{i} } \label{1-15}
\end{align}
が得られます。
\eqref{1-15}を利用すると、新座標系\( x^{i^{\prime}} \)での\( h^{\prime} \)は
\begin{align}
h^{\prime} & \equiv \eta^{ i^{\prime} j^{\prime} } h_{ i^{\prime} j^{\prime} } = \eta^{ij} h_{ i^{\prime} j^{\prime} } \notag \\
&= \eta^{ ij } \Biggl( h_{ij} - \eta_{ik} \dd{ \xi^{k} }{ x^{j} } - \eta_{jk} \dd{\xi^{k}}{ x^{i} } \Biggr) \notag \\
&= h - \delta_{jk} \dd{ \xi^{k} }{ x^{j} } - \delta_{ik} \dd{\xi^{k}}{ x^{i} } \notag \\
&= h - 2 \dd{ \xi^{k} }{ x^{k} } \label{1-15a}
\end{align}
となります。
\eqref{1-15}、\eqref{1-15a}を利用すると、新座標系\( x^{i^{\prime}} \)における\( \phi_{ i^{\prime} j^{\prime}} \)は
\begin{align}
\phi_{ i^{\prime} j^{\prime}} & \equiv h_{ i^{\prime} j^{\prime} } - \cfrac{1}{2} h^{\prime} \eta_{ij} \notag \\
&= h_{ij} - \eta_{ik} \dd{ \xi^{k} }{ x^{j} } - \eta_{jk} \dd{\xi^{k}}{ x^{i} } - \cfrac{1}{2} \Biggl( h - 2 \dd{ \xi^{k} }{ x^{k} } \Biggr) \notag \\
&= \Biggl( h_{ij} - \cfrac{1}{2} h \eta_{ij} \Biggr) - \eta_{ik} \dd{ \xi^{k} }{ x^{j} } - \eta_{jk} \dd{\xi^{k}}{ x^{i} } + \eta_{ij} \dd{ \xi^{k} }{ x^{k} } \notag \\
&= \phi_{ij} - \eta_{ik} \dd{ \xi^{k} }{ x^{j} } - \eta_{jk} \dd{\xi^{k}}{ x^{i} } + \eta_{ij} \dd{ \xi^{k} }{ x^{k} } \label{1-16}
\end{align}
となります。
\( {\phi^{j^{\prime}}}_{i^{\prime}} \)を\( x^{j^{\prime}} \)で偏微分すると、
\begin{align}
\dd{{ {\phi^{j^{\prime}}}}_{i^{\prime}} }{ x^{j'} } &= \dd{ ( \eta^{j'l'} \phi_{i'l'} ) }{ x^{j'} }
\fallingdotseq \dd{ ( {\eta}^{jl} \phi_{i'l'} ) } { {x}^{j} } \quad \Bigl(\because \ {\eta'}_{il} \fallingdotseq \eta_{il}\ ,\ \dd{}{ {x'}^{j} } \fallingdotseq \dd{}{ x^{j} } \ \Bigr) \notag \\
&= \dd{}{x^{j}} \Biggl\{ \eta^{jl} \Biggl(
\phi_{il} - \eta_{ik} \dd{ \xi^{k} }{ x^{l} } - \eta_{lk} \dd{ \xi^{k} }{ x^{i} } + \eta_{il} \dd{ \xi^{k} }{ x^{k} }
\Biggl) \Biggr\} \notag \\
&= \dd{}{x^{j}} ( \eta^{jl} \phi_{il} ) - \eta^{jl} \eta_{ik} \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{j} \partial x^{l} } - \eta^{jl} \eta_{lk} \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{j} \partial x^{i} } + \eta^{jl} \eta_{il} \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{j} \partial x^{k} }
\notag \\
&= \dd{ {\phi^{j}}_{i} }{x^{j}} - \eta_{ik} \Biggl( \eta^{jl} \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{j} \partial x^{l} } \Biggr) - {\eta^{j}}_{k} \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{j} \partial x^{i} } + {\eta^{j}}_{i} \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{j} \partial x^{k} } \notag \\
&= \dd{ {\phi^{j}}_{i} }{x^{j}} - \eta_{ik} \Biggl( \eta^{jl} \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{j} \partial x^{l} } \Biggr) - \cfrac{ \partial^{2} \xi^{j} }{ \partial x^{j} \partial x^{i} } + \cfrac{ \partial^{2} \xi^{k} }{ \partial x^{i} \partial x^{k} } \notag \\
&= \dd{ {\phi^{j}}_{i} }{x^{j}} - \eta_{ik} \square \xi^{k}
\label{1-17}
\end{align}
となります。
ここで、変換後の\( {\phi^{j'}}_{i'} \)の微分が次式で表される条件（「ゲージ条件」といいます）
\begin{equation}
\dd{ {\phi^{j'}}_{i'} }{ x^{j'} } = 0 \label{1-18}
\end{equation}
を満たすように微小量\( \xi^{i} \)を設定します。
\eqref{1-17}より、
\begin{equation}
\dd{ {\phi^{j}}_{i} }{x^{j}} = \eta_{ik} \square \xi^{k} \label{1-19}
\end{equation}
となります。
一方、
\begin{align}
\dd{ {\phi^{j'}}_{i'} }{ x^{j'} } &= \dd{}{ x^{j'} } ( \eta^{k'j'} \phi_{k'i'} ) \notag \\
&= \dd{}{ x^{j'} } \Bigl\{ \eta^{k'j'} \Bigl( h_{k'i'} - \cfrac{1}{2} h' \eta_{k'i'} \Bigr) \Bigr\} \notag \\
&= \dd{}{ x^{j'} } \Bigl( {h^{j'}}_{i'} - \cfrac{1}{2} h' {\delta^{j'}}_{i'} \Bigr) \notag \\
&= \dd{ {h^{j'}}_{i'} }{ x^{j'} } - \cfrac{1}{2} \dd{ h' }{ x^{i'} }
\label{1-20}
\end{align}
であるため、上式と\eqref{1-18}とから、
\begin{equation}
\dd{ {h'^{j'}}_{i'} }{ x^{j'} } - \cfrac{1}{2} \dd{ h' }{ x^{i'} } = 0 \label{1-21}
\end{equation}
が得られます。
そこで、弱い重力場の方程式、重力波の方程式の導出においては、上記の微小座標変換後の新しい座標系について検討します。
そのため、上記の\eqref{1-18}や\eqref{1-21}については、プライム「 ' 」がない表式を適用します。
\eqref{1-21}より、\eqref{1-12}の右辺の中括弧{ }内の２つの小括弧( )はいずれも\(\ 0\ \)であるから、
\begin{equation}
R_{ij} = - \cfrac{1}{2} \square h_{ij} \label{1-22}
\end{equation}
が得られます。
したがって、スカラー曲率\( R \)は
\begin{align}
R &= g^{ij}R_{ij} \equiv \eta^{ij} R_{ij} \notag \\
&= - \cfrac{1}{2} \square ( \eta^{ij} h_{ij} ) \notag \\
&= - \cfrac{1}{2} \square h \label{1-23}
\end{align}
となります。\eqref{1-22}、\eqref{1-23}を\eqref{1-3}に代入すると
\begin{align}
G_{ij} &= R_{ij} - \cfrac{1}{2} g_{ij} R \notag \\
&\equiv - \cfrac{1}{2} \square h_{ij} - \cfrac{1}{2} \eta_{ij} \Biggl( - \cfrac{1}{2} \square h \Biggr) \notag \\
&= - \cfrac{1}{2} \square \Biggl( h_{ij} - \cfrac{1}{2} h \eta_{ij} \Biggr) \notag \\
&= - \cfrac{1}{2} \square \phi_{ij} \label{1-24}
\end{align}
が得られます。したがって、\eqref{1-24}を「５章 重力場の方程式」ページの(1)式を代入すると
\begin{equation}
\square \phi_{ij} = - \cfrac{ 16 \pi G }{c^{4}} T_{ij} \label{1-25}
\end{equation}
が得られます。上式が弱い重力場の方程式となります。
物質が存在しない真空中における重力波の伝搬方程式は、\eqref{1-25}右辺のエネルギー運動量テンソル\( T_{ij} \)を\(\ 0\ \)として、
\begin{equation}
\square \phi_{ij} \equiv - \cfrac{1}{c^{2}} \dd{^{2}\phi_{ij}}{ t^{2} } + \dd{^{2}\phi_{ij}}{ x^{2} } + \dd{^{2}\phi_{ij}}{ y^{2} } + \dd{^{2}\phi_{ij}}{ z^{2} } = 0 \label{2-1}
\end{equation}
となり、\( \phi \)についての波動方程式であり、伝搬速度は光速\( c \)となります。
真空中を伝搬する平面波を考えれば、\eqref{2-1}の平面波の解は次式で表されます。
\begin{align}
\phi_{ij} = a_{ij} \exp( ik_{l}x^{l} ) \label{2-2} \\
( x^{0},x^{1},x^{2},x^{3} ) = ( ct,x,y,z ) \label{2-2-1} \\
k_{l} k^{l} = 0 \label{2-3}
\end{align}
ここで、\( i \)は虚数単位（ \( i=\sqrt{-1} \) ）、\( k_{l} \)は重力波の伝搬４元波数ベクトル、\( a_{ij} \)は振幅を表わす対称な定数テンソルです。
またゲージ条件から
\begin{equation}
a_{ij}k^{j} = 0 \label{2-4}
\end{equation}
となります。
理解の容易のために、平面重力波は\( z \)方向に伝搬しているものとすると
\begin{equation}
k_{l} = (-k,0,0,k),\ k^{l} = (k,0,0,k) \label{2-5}
\end{equation}
と表わすことができるので、角振動数\( \omega \)を
\begin{equation}
\omega = kc \label{2-6}
\end{equation}
と定義すると、\eqref{2-2}は
\begin{align}
\phi_{ij} &= a_{ij} \exp \{ i( -\omega t + kz) \} \label{2-7} \\
&= a_{ij} \{ \cos ( -\omega t + kz) + i \sin ( -\omega t + kz) \} \label{2-7-1}
\end{align}
となります。
\( z \)方向に進行する重力波の振動方向は\(x-y\)面内であるため、重力波は電磁波と同様に横波です。